排列與組合：排列與組合的區別

組合學——處理計數、排列、排列和組合的數學領域——通常是最令人困惑的領域之一。 然而，它構成了整個概率領域的基礎，並最終在機器學習和人工智能中發揮著至關重要的作用。 由於這些原因，排列和組合是一個需要在進一步進行之前掌握的主題。

作為障礙的主要混淆之一是排列和組合之間的差異。 因此，我們將深入了解排列和組合的關鍵定義和特徵。 這將解釋這兩個術語的不同之處以及應在哪種情況下應用哪一個。

讓我們開始！

什麼是排列和組合——它們之間的區別

讓我們嘗試使用一些示例來理解這些關鍵術語。 假設您想在午餐時點一份沙拉。 你喜歡的沙拉可能是西紅柿、胡蘿蔔、蘿蔔和甜菜根的混合物。 現在，您不關心這些單獨的蔬菜添加到沙拉中的順序，只要它們都在那裡即可。 您所關心的只是將所有必需的蔬菜放入沙拉碗中。 沙拉可以由“西紅柿、胡蘿蔔、蘿蔔和甜菜根”或“西紅柿、胡蘿蔔、甜菜根和蘿蔔”組成。 理想情況下，這兩種情況對您來說都是一樣的——作為沙拉消費者。

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從排列開始

現在，讓我們稍微改變一下示例並考慮一下您的借記卡 PIN。 如果您的 PIN 是 7986，它是數字 7、8、9 和 6 的集合。但是，在這種情況下，並非所有這些數字的排列最終都會成為您的 PIN。 這只是一個特定的序列——7896——就是你的 PIN。 在這種情況下，順序是必不可少的。

排列就像您的 PIN 詳細信息一樣 - 順序非常重要。 細節對於排列很重要。 對於排列，6/8/9 與 9/6/8 完全不同，而 9/6/8 又與 8/6/9 不同，依此類推。 因此，對於排列，必須不惜一切代價保留實體的順序。

因此，從更專業的角度來定義它——排列是選擇不同項目的過程，其中選擇的順序很重要。 它可以描述為排列給定集合的部分或所有項目的方式的數量。

例如，考慮一個集合——{a, b, c}。 其中，元素的所有排列如下：

• 美國廣播公司
• 交流電
• 背
• bca
• 出租車
• CBA

排列的特例

您應該記住兩種特殊的排列情況：

1.重複

來自總共“n”種不同類型的某物的“k”的排列可以說是 n*n*n*…k 次。

原因很簡單——當一個事物有 n 種不同的類型時……你每次都有“n”個選擇。

例如：選擇其中 3 個，排列為：

n×n×n

（n 乘以 3 倍）

更一般地說：從具有“k”種不同類型的東西中選擇“n”，排列是：

n × n × …（k 次）

2.沒有重複

如果沒有重複，選擇將不會每次都保持“n”。 相反，價值會隨著您做出的每個選擇而不斷減少。 這是一個更好地理解這一點的例子：

試著想一想從一副紙牌中組成的不同 4 張手牌的數量？

現在，對於第一張卡片，您可以選擇 52 張卡片中的任意一張。 所以，你有 52 個選擇。 一旦你做出了第一選擇，你就不能再選擇同一張牌，所以下一個插槽的選擇變為 51。同樣，每次下一次抽獎都會導致你的選擇比之前少。 這個公式可以概括為：

為了概括這一點，來自一組“n”個不同對象的“k”個不同對象的不同排列的公式可以給出為：

P(n,k) = nPk = n! / (n−k)!

其中 nPk 是一組“n”個不同對像中“k”個不同對象的排列數，n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*…。 .

從排列 - 現在到組合

組合可以理解為一種技術，用於確定一組不同元素中不同可能排列的數量——其中選擇的順序無關緊要。 組合起來，您可以按任何順序選擇項目——請記住我們之前的沙拉碗示例。

因此，組合只是從批量集合中選擇不同項目的方式，因此順序並不重要。 為了更好地理解這一點，請看下面的例子：

假設我們有三個數字——1、2、3——我們想組成一個三位數。 可能的數字是 123、213、132、231、312 和 321。使用組合，我們可以更容易地找到可以按特定順序放置 1、2、3 的方式的數量。 組合是從 n 個事物的集合中選擇 k 個事物而不進行任何替換，可以用以下數學方式寫成：

C(n,k) = nCk = n! /k！ * (n-k)!

讓我們用一個例子更好地理解這個公式。 嘗試找出教練可以從一組 6 名游泳運動員中選擇三名游泳運動員的方法數。

使用公式：

nCK = n! /k！ * (n-k)!

在我們的問題中，n 的值為 6，k 的值為 3。將其保留在公式中，我們得到：

C(6,3) = 6！ / 3!*2! = 60 => 教練可以從一組 6 名游泳運動員中以 60 種不同的方式選擇 3 名游泳運動員。

排列組合的一些常見例子

讓我們看一些日常示例，以幫助您更好地理解排列和組合之間的區別。 通過這些示例，您將能夠輕鬆發現這兩種技術之間的差異。

1.排列

• 排列不同的人、數字、字母、數字、蔬菜或顏色。
• 從 11 名隊員中選出隊長。
• 從幾種不同的顏色中挑選三種最喜歡的顏色。
• 選出一、二、三等獎獲得者。

2.組合

• 從列表中選擇食物菜單、衣服、課程主題等。
• 從一群人中挑選不同數量的人。
• 從配色書中挑選兩種顏色。
• 只選出四名獲勝者。

排列與組合的關係

排列和組合本質上是指從一組中選擇對象的不同方式——有或沒有重複——以形成新的主題。 因此，這兩個概念都可以理解為計算給定集合的子集數量。 當選擇的順序很重要時，這種子集選擇稱為排列，而當順序不那麼重要時，稱為組合。

在更數學的意義上，排列和組合彼此密切相關。 組合只是計算從 n 個對像中可以做出的不同選擇。 另一方面，排列是計算 n 個對象的不同排列的數量。

如果您仔細觀察以下兩個排列和組合公式，您將能夠自行推導出兩者之間的數學關係。 核實：

• nPr = n!/(nr)!
• nCr = n!/[r! （nr）！]

=> nPr = nCr / r!

=> nCr = r! * 美國國家公共電台

上面提到的等式就是排列組合的數學關係。

排列與組合的區別

這是一個表格，可以使排列和組合之間的基本區別更容易理解。

讓我們通過示例了解排列和組合之間的區別，讓您了解我們如何在現實生活中使用它們。

• 為遊戲組建團隊：我們經常使用組合來確定從一大群玩家中可以組成多少個可能的團隊，以確保公平分配。
• 活動的座位安排：您可以使用排列公式來確定正式活動或官方座位計劃的可能座位安排數量。
• 組成委員會時組合：你可以通過組合來找出組成委員會的可能性，方法是從一個更大的群體中選擇幾個人。
• 創建密碼：我們還可以使用排列來計算可以使用一組給定的數字、符號和字母組成的可能密碼的數量。

要記住的要點

• 組合是您可以在不考慮順序的情況下從更大的集合中選擇對象子集的方式的數量。 雖然排列是您可以按特定順序排列一組對象的不同數量的方式。
• 如果 n 和 k 值相同，則排列數將始終超過組合數。
• 由於在計算組合時順序無關緊要，因此從 n 個元素的集合中選擇相同的 k 個對象的結果將始終相同。
• 由於順序在排列中是必不可少的，即使您從一組 n 個對像中選擇相同的 k 個對象，結果也會因選擇順序而異。

綜上所述

至此，我們結束了這篇關於排列和組合之間差異的博文。 請記住，組合學領域非常廣闊，它為許多其他重要的數學領域奠定了基礎——尤其是在涉及概率或機器學習等應用領域時。 我們在本文中討論的只是排列和組合之間的根本區別。 但是，有了這些知識，您就可以輕鬆解決學生在解決 PnC 問題時普遍面臨的所有困惑。

如果您了解本文中的所有內容，我們建議您深入研究並熟悉組合學的其他細微差別。 如果您不太理解這篇文章 - 請在下面的評論中提出您的疑問。

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