排列与组合：排列与组合的区别

组合学——处理计数、排列、排列和组合的数学领域——通常是最令人困惑的领域之一。 然而，它构成了整个概率领域的基础，并最终在机器学习和人工智能中发挥着至关重要的作用。 由于这些原因，排列和组合是一个需要在进一步进行之前掌握的主题。

作为障碍的主要混淆之一是排列和组合之间的差异。 因此，我们将深入了解排列和组合的关键定义和特征。 这将解释这两个术语的不同之处以及应在哪种情况下应用哪一个。

让我们开始！

什么是排列和组合——它们之间的区别

让我们尝试使用一些示例来理解这些关键术语。 假设您想在午餐时点一份沙拉。 你喜欢的沙拉可能是西红柿、胡萝卜、萝卜和甜菜根的混合物。 现在，您不关心这些单独的蔬菜添加到沙拉中的顺序，只要它们都在那里即可。 您所关心的只是将所有必需的蔬菜放入沙拉碗中。 沙拉可以由“西红柿、胡萝卜、萝卜和甜菜根”或“西红柿、胡萝卜、甜菜根和萝卜”组成。 理想情况下，这两种情况对您来说都是一样的——作为沙拉消费者。

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从排列开始

现在，让我们稍微改变一下示例并考虑一下您的借记卡 PIN。 如果您的 PIN 是 7986，它是数字 7、8、9 和 6 的集合。但是，在这种情况下，并非所有这些数字的排列最终都会成为您的 PIN。 这只是一个特定的序列——7896——就是你的 PIN。 在这种情况下，顺序是必不可少的。

排列就像您的 PIN 详细信息一样 - 顺序非常重要。 细节对于排列很重要。 对于排列，6/8/9 与 9/6/8 完全不同，而 9/6/8 又与 8/6/9 不同，依此类推。 因此，对于排列，必须不惜一切代价保留实体的顺序。

因此，从更专业的角度来定义它——排列是选择不同项目的过程，其中选择的顺序很重要。 它可以描述为排列给定集合的部分或所有项目的方式的数量。

例如，考虑一个集合——{a, b, c}。 其中，元素的所有排列如下：

• 美国广播公司
• 交流电
• 背
• bca
• 出租车
• CBA

排列的特例

您应该记住两种特殊的排列情况：

1.重复

来自总共“n”种不同类型的某物的“k”的排列可以说是 n*n*n*…k 次。

原因很简单——当一个事物有 n 种不同的类型时……你每次都有“n”个选择。

例如：选择其中 3 个，排列为：

n×n×n

（n 乘以 3 倍）

更一般地说：从具有“k”种不同类型的东西中选择“n”，排列是：

n × n × …（k 次）

2.没有重复

如果没有重复，选择将不会每次都保持“n”。 相反，价值会随着您做出的每个选择而不断减少。 这是一个更好地理解这一点的例子：

试着想一想从一副纸牌中组成的不同 4 张手牌的数量？

现在，对于第一张卡片，您可以选择 52 张卡片中的任意一张。 所以，你有 52 个选择。 一旦你做出了第一选择，你就不能再选择同一张牌，所以下一个插槽的选择变为 51。同样，每次下一次抽奖都会导致你的选择比之前少。 这个公式可以概括为：

为了概括这一点，来自一组“n”个不同对象的“k”个不同对象的不同排列的公式可以给出为：

P(n,k) = nPk = n! / (n−k)!

其中 nPk 是一组“n”个不同对象中“k”个不同对象的排列数，n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*…。 .

从排列 - 现在到组合

组合可以理解为一种技术，用于确定一组不同元素中不同可能排列的数量——其中选择的顺序无关紧要。 组合起来，您可以按任何顺序选择项目——请记住我们之前的沙拉碗示例。

因此，组合只是从批量集合中选择不同项目的方式，因此顺序并不重要。 为了更好地理解这一点，请看下面的例子：

假设我们有三个数字——1、2、3——我们想组成一个三位数。 可能的数字是 123、213、132、231、312 和 321。使用组合，我们可以更容易地找到可以按特定顺序放置 1、2、3 的方式的数量。 组合是从 n 个事物的集合中选择 k 个事物而不进行任何替换，可以用以下数学方式写成：

C(n,k) = nCk = n! /k！ * (n-k)!

让我们用一个例子更好地理解这个公式。 尝试找出教练可以从一组 6 名游泳运动员中选择三名游泳运动员的方法数。

使用公式：

nCK = n! /k！ * (n-k)!

在我们的问题中，n 的值为 6，k 的值为 3。将其保留在公式中，我们得到：

C(6,3) = 6！ / 3!*2! = 60 => 教练可以从一组 6 名游泳运动员中以 60 种不同的方式选择 3 名游泳运动员。

排列组合的一些常见例子

让我们看一些日常示例，以帮助您更好地理解排列和组合之间的区别。 通过这些示例，您将能够轻松发现这两种技术之间的差异。

1.排列

• 排列不同的人、数字、字母、数字、蔬菜或颜色。
• 从 11 名队员中选出队长。
• 从几种不同的颜色中挑选三种最喜欢的颜色。
• 选出一、二、三等奖获得者。

2.组合

• 从列表中选择食物菜单、衣服、课程主题等。
• 从一群人中挑选不同数量的人。
• 从配色书中挑选两种颜色。
• 只选出四名获胜者。

排列与组合的关系

排列和组合本质上是指从一组中选择对象的不同方式——有或没有重复——以形成新的主题。 因此，这两个概念都可以理解为计算给定集合的子集数量。 当选择的顺序很重要时，这种子集选择称为排列，而当顺序不那么重要时，称为组合。

在更数学的意义上，排列和组合彼此密切相关。 组合只是计算从 n 个对象中可以做出的不同选择。 另一方面，排列是计算 n 个对象的不同排列的数量。

如果您仔细观察以下两个排列和组合公式，您将能够自行推导出两者之间的数学关系。 核实：

• nPr = n!/(nr)!
• nCr = n!/[r! （nr）！]

=> nPr = nCr / r!

=> nCr = r! * 美国国家公共电台

上面提到的等式就是排列组合的数学关系。

排列与组合的区别

这是一个表格，可以使排列和组合之间的基本区别更容易理解。

让我们通过示例了解排列和组合之间的区别，让您了解我们如何在现实生活中使用它们。

• 为游戏组建团队：我们经常使用组合来确定从一大群玩家中可以组成多少个可能的团队，以确保公平分配。
• 活动的座位安排：您可以使用排列公式来确定正式活动或官方座位计划的可能座位安排数量。
• 组成委员会时组合：你可以通过组合来找出组成委员会的可能性，方法是从一个更大的群体中选择几个人。
• 创建密码：我们还可以使用排列来计算可以使用一组给定的数字、符号和字母组成的可能密码的数量。

要记住的要点

• 组合是您可以在不考虑顺序的情况下从更大的集合中选择对象子集的方式的数量。 虽然排列是您可以按特定顺序排列一组对象的不同数量的方法。
• 如果 n 和 k 值相同，则排列数将始终超过组合数。
• 由于在计算组合时顺序无关紧要，因此从 n 个元素的集合中选择相同的 k 个对象的结果将始终相同。
• 由于顺序在排列中是必不可少的，即使您从一组 n 个对象中选择相同的 k 个对象，结果也会因选择顺序而异。

综上所述

至此，我们结束了这篇关于排列和组合之间差异的博文。 请记住，组合学领域非常广阔，它为许多其他重要的数学领域奠定了基础——尤其是在涉及概率或机器学习等应用领域时。 我们在本文中讨论的只是排列和组合之间的根本区别。 但是，有了这些知识，您就可以轻松解决学生在解决 PnC 问题时普遍面临的所有困惑。

如果您了解本文中的所有内容，我们建议您深入研究并熟悉组合学的其他细微差别。 如果您不太理解这篇文章 - 请在下面的评论中提出您的疑问。

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