Permütasyon ve Kombinasyon: Permütasyon ve Kombinasyon Arasındaki Fark

Kombinatorik - sayma, düzenlemeler, permütasyonlar ve kombinasyonlarla ilgilenen Matematik alanı - genellikle en kafa karıştırıcı alanlardan biridir. Bununla birlikte, tüm Olasılık alanının temelini oluşturur ve sonunda Makine Öğrenimi ve Yapay Zekada çok önemli bir rol oynar. Bu sebeplerden dolayı Permütasyonlar ve Kombinasyonlar daha fazla ilerlemeden önce hakim olunması gereken bir konudur.

Barikat görevi gören birincil kafa karışıklıklarından biri, permütasyonlar ve kombinasyonlar arasındaki farktır. Bu nedenle, Permütasyonların ve Kombinasyonların temel tanımlarına ve özelliklerine derinlemesine bir göz atacağız. Bu, her iki terimin nasıl farklı olduğunu ve hangisinin hangi senaryoda uygulanması gerektiğini açıklayacaktır.

Hadi başlayalım!

Permütasyon ve Kombinasyon Nedir - Aralarındaki Farklar

Bazı örnekler kullanarak bu önemli terimleri anlamaya çalışalım. Öğle yemeği için salata sipariş etmek istediğinizi varsayalım. Tercih ettiğiniz salata, domates, havuç, turp ve pancar karışımı olabilir. Şimdi, hepsi orada olduğu sürece, bu ayrı ayrı sebzelerin salatanıza eklenme sırasını umursamıyorsunuz. Tek umursadığınız, salata kasenizde gerekli tüm sebzelerin olması. Salata, “domates, havuç, turp ve pancar” veya “domates, havuç, pancar ve turptan” oluşabilir. Salata tüketicisi olarak her iki senaryo da ideal olarak sizin için aynı olacaktır.

Kariyerinizi hızlandırmak için Dünyanın en iyi Üniversitelerinden çevrimiçiMakine Öğrenimi Kursunakatılın- Yüksek Lisanslar, Yönetici Yüksek Lisans Programları ve Makine Öğrenimi ve Yapay Zekada Gelişmiş Sertifika Programı.

Permütasyon ile Başlamak

Şimdi örneği biraz değiştirelim ve Banka Kartı Şifrenizi düşünelim. PIN'iniz 7986 ise, 7, 8, 9 ve 6 rakamlarından oluşan bir koleksiyondur. Ancak bu durumda, bu rakamların tüm düzenlemeleri sizin şifreniz olmayacaktır. Bu yalnızca belirli bir sıradır – 7896 – bu sizin PIN'inizdir. Bu durumda sıralama önemlidir.

Permütasyonlar tam olarak PIN bilgileriniz gibidir - sıra son derece önemlidir. Detaylar permütasyonlar için önemlidir. Bir permütasyona göre 6/8/9, 9/6/8'den tamamen farklıdır, o da 8/6/9'dan farklıdır vb. Bu nedenle, permütasyonlar için varlıkların sırası ne pahasına olursa olsun korunmalıdır.

Yani, biraz daha teknik anlamda tanımlamak için - Permütasyon, seçim sırasının önemli olduğu farklı öğeleri seçme sürecidir. Belirli bir kümenin bazı öğelerini veya tüm öğelerini düzenleme yollarının sayısı olarak tanımlanabilir.

Örneğin, bir küme düşünün – {a, b, c}. Bunda, elemanların tüm permütasyonları aşağıdaki gibidir:

• ABC
• acb
• bak
• bca
• taksi
• MİA

Özel Permütasyon Durumları

Aklınızda bulundurmanız gereken iki özel Permütasyon durumu vardır:

1. Tekrarlı

Toplam 'n' farklı türden bir şeyin 'k' permütasyonunun n*n*n*…k kez olduğu söylenebilir.

Bunun nedeni basit – bir şeyin n farklı türü olduğunda … her seferinde 'n' sayıda seçeneğiniz olur.

Örneğin: bu şeylerden 3 tanesini seçmek, permütasyonlar:

n × n × n

(n 3 ile çarpılır)

Daha genel olarak: 'k' farklı türü olan bir şeyin 'n'sini seçmek, permütasyonlar şöyledir:

n × n × … (k kez)

2. Tekrarsız

Tekrar olmadan, seçimler her seferinde 'n' kalmayacaktır. Bunun yerine, yaptığınız her seçimde değerler düşmeye devam eder. Bunu daha iyi anlamak için bir örnek verelim:

Bir iskambil destesinden yapılan farklı 4'lü ellerin sayısını düşünmeye çalışın mı?

Şimdi, ilk kart için 52 karttan herhangi birini seçme seçeneğiniz var. Yani, 52 seçeneğiniz var. İlk seçiminizi yaptıktan sonra, aynı kartı tekrar seçemezsiniz, bu nedenle bir sonraki yuva için seçenekler 51 olur. Aynı şekilde, sonraki her çekilişte öncekinden daha az seçenekle sonuçlanacaktır. Bu formül şu şekilde genelleştirilebilir:

Bunu genelleştirmek için, 'n' farklı nesne grubundan 'k' farklı nesnenin farklı permütasyonları için formül şu şekilde verilebilir:

P(n,k) = nPk = n! / (n-k)!

Burada nPk, bir 'n' farklı nesne kümesinden 'k' farklı nesnenin permütasyon sayısıdır ve n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*…. .

Permütasyonlardan Geçiş - Şimdi Kombinasyonlara

Kombinasyon, seçim sırasının ilgili olmadığı durumlarda, bir dizi farklı öğedeki olası farklı düzenlemelerin sayısını belirlemeye yönelik bir teknik olarak anlaşılabilir. Kombinasyon halinde, öğeleri herhangi bir sırada seçebilirsiniz - daha önceki salata kasesi örneğimizi hatırlayın.

Bu nedenle, kombinasyon, siparişin önemli olmaması için toplu bir koleksiyondan farklı öğeleri seçmenin basit bir yoludur. Bunu daha iyi anlamak için aşağıdaki örneği ele alalım:

Diyelim ki üç hanemiz var – 1, 2, 3 – ve üç haneli bir sayı yapmak istiyoruz. Olası sayılar 123, 213, 132, 231, 312 ve 321'dir. Kombinasyonları kullanarak 1, 2, 3'ün kaç farklı şekilde belirli bir sıraya yerleştirilebileceğini daha kolay bulabiliriz. Kombinasyon, n öğeden oluşan bir koleksiyondan k öğenin herhangi bir yer değiştirme olmaksızın seçilmesidir ve matematiksel olarak aşağıdaki şekilde yazılabilir:

C(n,k) = nCk = n! / k! * (n-k)!

Bir örnek kullanarak bu formülü daha iyi anlayalım. Bir antrenörün 6 yüzücüden oluşan bir gruptan üç yüzücüyü kaç farklı şekilde seçebileceğini bulmaya çalışın.

Formülü kullanarak:

nCk = n! / k! * (n-k)!

Sorumuzda n'nin değeri 6 ve k'nin değeri 3'tür. Bunu formülde tutarak şunu elde ederiz:

C(6,3) = 6! / 3!*2! = 60 => Antrenör 6 yüzücüden 3'ünü 60 farklı şekilde seçebilir.

Bazı Yaygın Permütasyon ve Kombinasyon Örnekleri

Permütasyonlar ve kombinasyonlar arasındaki farkları daha iyi anlamanıza yardımcı olacak bazı günlük örneklere bakalım. Bu örnekler sayesinde, bu iki teknik arasındaki farkları kolayca tespit edebileceksiniz.

1. Permütasyonlar

• Farklı insanları, sayıları, alfabeleri, rakamları, sebzeleri veya renkleri düzenleme.
• 11 kişilik bir takımdan bir takım kaptanı seçmek.
• Birkaç farklı renkten üç favori rengi seçmek.
• Birinci, ikinci ve üçüncü kazananları seçmek.

2. Kombinasyonlar

• Listeden yemek menüsü, kıyafet seçimi, ders konuları vb.
• Bir grup insandan farklı sayıda insan seçmek.
• Bir renk kitabından iki renk seçmek.
• Sadece dört kazanan seçiliyor.

Permütasyon ve Kombinasyon İlişkisi

Permütasyonlar ve Kombinasyonlar, esas olarak, yeni özneler oluşturmak için bir kümeden nesnelerin - hem Tekrarlı hem de Tekrarsız - seçilebileceği farklı yollara atıfta bulunur. Dolayısıyla, bu kavramların her ikisi de belirli bir küme için alt küme sayısını saymak olarak anlaşılabilir. Bu alt küme seçimine, seçim sırası önemli olduğunda permütasyon ve sıra o kadar önemli olmadığında bir kombinasyon adı verilir.

Daha matematiksel bir anlamda, permütasyon ve kombinasyon birbiriyle yakından ilişkilidir. Kombinasyon, basitçe n nesneden yapılabilecek farklı seçimlerin sayılmasıdır. Öte yandan permütasyon, n nesneden farklı düzenlemelerin sayısını saymaktır.

Aşağıdaki iki Permütasyon ve Kombinasyon formülüne yakından bakarsanız, ikisi arasında kendi başınıza matematiksel bir ilişki elde edebileceksiniz. Kontrol et:

• nPr = n!/(nr)!
• nCr = n!/[r! (no)!]

=> nPr = nCr / r!

=> nCr = r! * Nepal Rupisi

Yukarıda belirtilen denklem, permütasyon ve kombinasyon arasındaki matematiksel ilişkidir.

Permütasyon ve Kombinasyon Arasındaki Fark

İşte permütasyon ve kombinasyon arasındaki temel farkların anlaşılmasını kolaylaştıracak bir tablo.

Permütasyon ve kombinasyon arasındaki farkı gerçek hayatta nasıl kullandığımıza dair bir fikir vermesi için örnekle anlayalım .

• Bir oyun için bir takım oluşturmak: Adil bir dağılım sağlamak için büyük bir oyuncu grubundan kaç olası takımın oluşturulabileceğini belirlemek için sıklıkla kombinasyonları kullanırız.
• Bir etkinlik için oturma düzenlemeleri: Resmi etkinlikler veya resmi oturma planları için olası oturma düzeni sayısını belirlemek için permütasyon formülünü kullanabilirsiniz.
• Komite oluştururken kombinasyon: Daha büyük bir gruptan birkaç kişi seçerek komite oluşturma olasılığını bulmak için kombinasyonlar uygulayabilirsiniz.
• Parola oluşturma: Belirli bir sayı, sembol ve alfabe grubu kullanılarak oluşturulabilecek olası parolaların sayısını hesaplamak için permütasyonları da kullanabiliriz.

Hatırlanacak noktalar

• Kombinasyon, sırayı dikkate almadan daha büyük bir kümeden nesnelerin bir alt kümesini seçebileceğiniz yolların sayısıdır. Permütasyon, bir dizi nesneyi belirli bir düzende düzenlemenin farklı yollarıdır.
• n ve k değerleri aynı ise, permütasyon sayısı her zaman kombinasyon sayısını aşacaktır.
• Kombinasyonları hesaplarken sıra önemli olmadığından, n elemanlı bir kümeden aynı k nesneyi seçmenin sonucu her zaman aynı olacaktır.
• Permütasyonda sıra esas olduğundan, n nesneden aynı k nesneyi seçseniz bile, sonuç seçim sırasına göre farklılık gösterecektir.

Sonuç olarak

Bununla birlikte, Permütasyon ve Kombinasyon arasındaki farklar hakkındaki bu blog yazısının sonuna geldik. Kombinatorik alanının son derece geniş olduğunu ve özellikle Olasılık veya Makine Öğrenimi gibi uygulamalı alanlar söz konusu olduğunda, matematiğin diğer birçok hayati alanının temelini oluşturduğunu unutmayın. Makalede tartıştığımız şey, Permütasyon ve Kombinasyon arasındaki temel farklardır. Ancak, bu bilgi yanınızda olduğunda, öğrencilerin PnC ile ilgili problemleri çözerken genellikle karşılaştıkları tüm kafa karışıklıklarını kolayca çözebilirsiniz.

Bu makaledeki her şeyi anladıysanız, daha derine inmenizi ve kombinatoriğin diğer nüanslarını öğrenmenizi öneririz. Makaleyi çok iyi anlamadıysanız - lütfen şüphelerinizi aşağıdaki yorumlarda sorun.

upGrad'da yeni ve deneyimli profesyoneller yetiştiriyoruz ve dünya çapında binlerce öğrencinin korkularıyla yüzleşmesine ve kariyerlerini dönüştürmesine başarıyla yardımcı olduk. Makine Öğrenimi ve Yapay Zeka kurslarımız güncel bilgiler göz önünde bulundurularak tasarlanmıştır. Böylece gerekli tüm matematik, istatistik, hesaplama en pratik şekilde öğrencilere öğretilir. Böyle bir kurs, Makine Öğrenimi ve Yapay Zekada Yönetici PG Programıdır. IIIT-B ile işbirliği içinde sunulmaktadır. Kurs ayrıntılarına göz atın ve bugün kaydolun!