การเรียงสับเปลี่ยน vs การรวมกัน: ความแตกต่างระหว่างการเรียงสับเปลี่ยนและการรวมกัน

Combinatorics – สาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการนับ การจัดเรียง การเรียงสับเปลี่ยน และการรวมกัน – มักจะเป็นหนึ่งในพื้นที่ที่สร้างความสับสนมากที่สุด อย่างไรก็ตาม มันสร้างพื้นฐานของโดเมนทั้งหมดของความน่าจะเป็น และในที่สุดก็มีบทบาทสำคัญในการเรียนรู้ของเครื่องและปัญญาประดิษฐ์ ด้วยเหตุผลเหล่านี้ การเรียงสับเปลี่ยนและการรวมจึงเป็นหัวข้อที่ต้องเข้าใจก่อนที่จะดำเนินการต่อไป

ความสับสนหลักประการหนึ่งที่ทำหน้าที่เป็นอุปสรรคคือความแตกต่างระหว่างการเรียงสับเปลี่ยนและการผสม ด้วยเหตุผลดังกล่าว เราจะพิจารณาเชิงลึกเกี่ยวกับคำจำกัดความหลักและคุณลักษณะของการเรียงสับเปลี่ยนและชุดค่าผสม ซึ่งจะอธิบายว่าทั้งสองคำนี้แตกต่างกันอย่างไร และควรใช้คำใดในสถานการณ์ใด

เอาล่ะ!

การเรียงสับเปลี่ยนและการรวมกันคืออะไร - ความแตกต่างระหว่างพวกเขา

ลองทำความเข้าใจคำศัพท์สำคัญเหล่านี้โดยใช้ตัวอย่าง สมมติว่าคุณต้องการสั่งสลัดสำหรับมื้อกลางวัน สลัดที่คุณต้องการอาจเป็นส่วนผสมของมะเขือเทศ แครอท หัวไชเท้า และบีทรูท ตอนนี้คุณไม่สนใจลำดับในการใส่ผักแต่ละชนิดลงในสลัดของคุณ ตราบใดที่มีผักทั้งหมดอยู่ในนั้น สิ่งที่คุณสนใจคือมีผักที่จำเป็นในชามสลัดของคุณ สลัดอาจประกอบด้วย "มะเขือเทศ แครอท หัวไชเท้า และบีทรูท" หรือ "มะเขือเทศ แครอท บีทรูท และหัวไชเท้า" ทั้งสองสถานการณ์จะเหมือนกันสำหรับคุณ – ในฐานะผู้บริโภคสลัด

เข้าร่วมหลักสูตรแมชชีนเลิร์นนิง ออนไลน์จากมหาวิทยาลัยชั้นนำของโลก – ปริญญาโท หลักสูตรบริหารธุรกิจบัณฑิต และหลักสูตรประกาศนียบัตรขั้นสูงใน ML & AI เพื่อติดตามความก้าวหน้าในอาชีพของคุณ

เริ่มต้นด้วยการเรียงสับเปลี่ยน

ตอนนี้ ลองเปลี่ยนตัวอย่างเล็กน้อยและคิดถึง PIN บัตรเดบิตของคุณ หาก PIN ของคุณคือ 7986 จะเป็นชุดของตัวเลข 7, 8, 9 และ 6 อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ การจัดเรียงของตัวเลขเหล่านี้จะไม่ได้กลายเป็น PIN ของคุณทั้งหมด เป็นเพียงลำดับเดียว – 7896 – นั่นคือ PIN ของคุณ ในกรณีนี้ การสั่งซื้อเป็นสิ่งจำเป็น

การเรียงสับเปลี่ยนก็เหมือนกับรายละเอียด PIN ของคุณ ลำดับนั้นสำคัญมาก รายละเอียดเป็นสิ่งสำคัญสำหรับการเรียงสับเปลี่ยน ในการเรียงสับเปลี่ยน 6/8/9 แตกต่างจาก 9/6/8 อย่างสิ้นเชิง ซึ่งแตกต่างจาก 8/6/9 ไปเรื่อยๆ สำหรับการเรียงสับเปลี่ยน ดังนั้น ลำดับของเอนทิตีจะต้องถูกรักษาไว้โดยมีค่าใช้จ่ายทั้งหมด

ดังนั้น เพื่อให้คำจำกัดความในเชิงเทคนิคมากขึ้น การเรียงสับเปลี่ยนคือกระบวนการเลือกรายการต่างๆ ที่ลำดับของการเลือกมีความสำคัญ สามารถอธิบายได้ว่าเป็นจำนวนวิธีในการจัดเรียงบางรายการหรือทั้งหมดของชุดที่กำหนด

ตัวอย่างเช่น พิจารณาเซต – {a, b, c} ในการนี้ การเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบทั้งหมดมีดังนี้:

• เอบีซี
• เอซีบี
• แบค
• พ.ศ
• แท็กซี่
• ซีบีเอ

กรณีพิเศษของการเรียงสับเปลี่ยน

มีสองกรณีพิเศษของการเรียงสับเปลี่ยนที่คุณควรจำไว้:

1. ด้วยการทำซ้ำ

การเรียงสับเปลี่ยนสำหรับ 'k' ของบางสิ่งจากทั้งหมด 'n' ประเภทต่างๆ อาจกล่าวได้ว่าเป็น n*n*n*…k ครั้ง

เหตุผลนี้ง่ายมาก – เมื่อสิ่งของมี n ประเภทที่แตกต่างกัน … คุณมีตัวเลือก 'n' จำนวนในแต่ละครั้ง

เช่น เลือกมา 3 อย่าง ลำดับการเรียงสับเปลี่ยนคือ

n × n × n

(n คูณ 3 ครั้ง)

โดยทั่วไป: การเลือก 'n' ของสิ่งที่มี 'k' ประเภทต่างๆ การเรียงสับเปลี่ยนคือ:

n × n × … (k ครั้ง)

2. ไม่มีการทำซ้ำ

หากไม่มีการทำซ้ำ ตัวเลือกจะไม่คงอยู่ 'n' ในแต่ละครั้ง ค่าจะลดลงเรื่อย ๆ ตามแต่ละตัวเลือกที่คุณเลือก นี่คือตัวอย่างเพื่อให้เข้าใจได้ดีขึ้น:

ลองนึกถึงจำนวนไพ่ในมือ 4 ใบที่แตกต่างกันจากสำรับไพ่?

ตอนนี้ สำหรับไพ่ใบแรก คุณมีตัวเลือกในการเลือกไพ่ 1 ใบจาก 52 ใบ ดังนั้น คุณมี 52 ตัวเลือก เมื่อคุณเลือกไพ่ใบแรกได้แล้ว คุณจะไม่สามารถเลือกไพ่ใบเดิมได้อีก ดังนั้นตัวเลือกสำหรับช่องถัดไปจึงกลายเป็น 51 เช่นเดียวกัน ทุกการจับรางวัลครั้งต่อไปจะส่งผลให้คุณมีตัวเลือกน้อยลงกว่าเดิม สูตรนี้สามารถสรุปเป็น:

เพื่อสรุปสิ่งนี้ สูตรสำหรับการเรียงสับเปลี่ยนที่แตกต่างกันของวัตถุที่แตกต่างกัน 'k' จากกลุ่มของวัตถุที่แตกต่างกัน 'n' สามารถกำหนดได้ดังนี้:

P(n,k) = nPk = n! / (n−k)!

โดยที่ nPk คือจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของวัตถุต่างๆ ที่มี 'k' จากชุดของวัตถุต่างๆ ที่มี 'n' และ n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*…. .

ย้ายจากการเรียงสับเปลี่ยน - ตอนนี้เป็นชุดค่าผสม

ชุดค่าผสมสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นเทคนิคในการกำหนดจำนวนของการจัดเรียงที่เป็นไปได้ที่แตกต่างกันในชุดขององค์ประกอบต่างๆ โดยที่ลำดับของการเลือกไม่เกี่ยวข้องกัน คุณสามารถเลือกรายการตามลำดับใดก็ได้ – จำตัวอย่างก่อนหน้านี้ของเราเกี่ยวกับชามสลัดของคุณ

ดังนั้น การรวมกันเป็นเพียงวิธีการเลือกรายการต่างๆ จากคอลเลกชันจำนวนมากเพื่อไม่ให้ลำดับความสำคัญ เพื่อให้เข้าใจได้ดีขึ้น ลองยกตัวอย่างต่อไปนี้:

สมมติว่าเรามีตัวเลขสามหลัก – 1, 2, 3 – และเราต้องการสร้างตัวเลขสามหลัก ตัวเลขที่เป็นไปได้คือ 123, 213, 132, 231, 312 และ 321 การใช้ชุดค่าผสม เราสามารถหาจำนวนวิธีในการวาง 1, 2, 3 ในลำดับเฉพาะได้ง่ายขึ้น การรวมกันคือการเลือกของ k สิ่งจากชุดของ n สิ่งโดยไม่มีการแทนที่ และสามารถเขียนทางคณิตศาสตร์ในลักษณะต่อไปนี้:

C(n,k) = nCk = n! / ก! * (n−k)!

มาทำความเข้าใจกับสูตรนี้กันดีกว่าโดยใช้ตัวอย่าง ลองหาจำนวนวิธีที่โค้ชสามารถเลือกนักว่ายน้ำสามคนจากกลุ่มนักว่ายน้ำ 6 คน

โดยใช้สูตร:

nCk = น! / ก! * (n−k)!

ในคำถามของเรา ค่าของ n คือ 6 และค่าของ k คือ 3 เราคงค่านั้นไว้ในสูตร:

ค(6,3) = 6! / 3!*2! = 60 => โค้ชสามารถเลือกนักว่ายน้ำ 3 คนจากชุดนักว่ายน้ำ 6 คนใน 60 วิธีที่แตกต่างกัน

ตัวอย่างทั่วไปของการเรียงสับเปลี่ยนและการรวมกัน

มาดูตัวอย่างประจำวันเพื่อช่วยให้คุณเข้าใจความแตกต่างระหว่างการเรียงสับเปลี่ยนและการผสมในลักษณะที่ดีขึ้น จากตัวอย่างเหล่านี้ คุณจะสามารถสังเกตเห็นความแตกต่างระหว่างสองเทคนิคนี้ได้อย่างง่ายดาย

1. การเรียงสับเปลี่ยน

• การจัดเรียงคน ตัวเลข ตัวอักษร ตัวเลข ผัก หรือสีต่างๆ
• การเลือกกัปตันทีมจากผู้เล่น 11 คน
• เลือกสีที่ชอบสามสีจากหลายๆ สี
• เลือกผู้ชนะที่หนึ่ง สอง และสาม

2. การรวมกัน

• การเลือกเมนูอาหาร เสื้อผ้าจากรายการ วิชาที่เรียน ฯลฯ
• การเลือกจำนวนคนที่แตกต่างกันจากกลุ่มคน
• เลือกสองสีจากสมุดสี
• เลือกผู้ชนะสี่คนเท่านั้น

ความสัมพันธ์ระหว่างการเปลี่ยนแปลงและการรวมกัน

การเรียงสับเปลี่ยนและการผสมโดยพื้นฐานแล้วหมายถึงวิธีการต่างๆ ในการเลือกออบเจกต์จากชุดหนึ่งๆ ทั้งที่มีหรือไม่มีการทำซ้ำ เพื่อสร้างหัวเรื่องใหม่ ดังนั้น แนวคิดทั้งสองนี้สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นการนับจำนวนเซตย่อยสำหรับเซตที่กำหนด การเลือกชุดย่อยนี้เรียกว่าการเรียงสับเปลี่ยนเมื่อลำดับของการเลือกมีความสำคัญและการรวมกันเมื่อลำดับไม่สำคัญ

ในแง่คณิตศาสตร์ การเรียงสับเปลี่ยนและการรวมกันมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิด การรวมกันเป็นเพียงการนับการเลือกต่างๆ ที่สามารถทำจากวัตถุ n ชิ้น ในทางกลับกัน การเรียงสับเปลี่ยนคือการนับจำนวนการจัดเรียงที่แตกต่างจากวัตถุ n ชิ้น

หากคุณพิจารณาสูตรการเรียงสับเปลี่ยนและการผสมผสานสองสูตรด้านล่างอย่างใกล้ชิด คุณจะสามารถหาความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ระหว่างทั้งสองสูตรได้ด้วยตัวคุณเอง ตรวจสอบ:

• nPr = n!/(nr)!
• nCr = n!/[r! (นร)!]

=> nPr = nCr / r!

=> nCr = ร! * nPr

สมการดังกล่าวข้างต้นเป็นความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ระหว่างการเรียงสับเปลี่ยนและการรวมกัน

ความแตกต่างระหว่างการเปลี่ยนแปลงและการรวมกัน

นี่คือตารางที่จะทำให้เข้าใจความแตกต่างพื้นฐานระหว่างการเรียงสับเปลี่ยนและการรวมกันได้ง่ายขึ้น

มาทำความเข้าใจ ความแตกต่างระหว่างการเรียงสับเปลี่ยนและการรวมกันด้วยตัวอย่าง เพื่อให้คุณเข้าใจว่าเราใช้พวกมันอย่างไรในชีวิตจริง

• การสร้างทีมสำหรับเกม: เรามักจะใช้การรวมกันเพื่อกำหนดจำนวนทีมที่เป็นไปได้ที่สามารถจัดตั้งขึ้นจากผู้เล่นกลุ่มใหญ่เพื่อให้แน่ใจว่ามีการกระจายที่ยุติธรรม
• การจัดที่นั่งสำหรับกิจกรรม: คุณสามารถใช้สูตรการเรียงสับเปลี่ยนเพื่อกำหนดจำนวนการจัดที่นั่งที่เป็นไปได้สำหรับกิจกรรมที่เป็นทางการหรือผังที่นั่งที่เป็นทางการ
• การรวมกันในขณะที่จัดตั้งคณะกรรมการ: คุณสามารถใช้การรวมกันเพื่อค้นหาความเป็นไปได้ในการจัดตั้งคณะกรรมการโดยการเลือกบุคคลสองสามคนจากกลุ่มใหญ่
• การสร้างรหัสผ่าน: เรายังสามารถใช้การเรียงสับเปลี่ยนเพื่อคำนวณจำนวนรหัสผ่านที่เป็นไปได้ซึ่งสามารถสร้างขึ้นโดยใช้ชุดตัวเลข สัญลักษณ์ และตัวอักษรที่กำหนด

ข้อควรจำ

• ชุดค่าผสมคือจำนวนวิธีที่คุณสามารถเลือกชุดย่อยของออบเจกต์จากชุดที่ใหญ่กว่าโดยไม่ต้องคำนึงถึงลำดับ ในขณะที่การเรียงสับเปลี่ยนเป็นวิธีต่างๆ ที่คุณสามารถจัดเรียงชุดของวัตถุในลำดับเฉพาะได้
• หากค่า n และ k เท่ากัน จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนจะเกินจำนวนการผสมเสมอ
• เนื่องจากลำดับไม่สำคัญในขณะที่คำนวณชุดค่าผสม ผลลัพธ์ของการเลือกวัตถุ k เดียวกันจากชุดขององค์ประกอบ n จะเหมือนกันเสมอ
• เนื่องจากลำดับมีความสำคัญในการเรียงสับเปลี่ยน แม้ว่าคุณจะเลือกวัตถุ k ชิ้นเดียวกันจากชุดของวัตถุ n ชิ้น ผลลัพธ์ที่ได้จะแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับลำดับการเลือก

สรุปแล้ว

ด้วยเหตุนี้ เราจึงมาถึงจุดสิ้นสุดของบล็อกโพสต์นี้เกี่ยวกับความแตกต่างระหว่างการเรียงสับเปลี่ยนและการรวมกัน โปรดทราบว่าสาขาของ Combinatorics นั้นกว้างเป็นพิเศษและเป็นฐานของสาขาคณิตศาสตร์ที่สำคัญอื่นๆ อีกมากมาย โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อเป็นเรื่องของสาขาประยุกต์ เช่น ความน่าจะเป็น หรือการเรียนรู้ของเครื่อง สิ่งที่เราได้กล่าวถึงในบทความนี้เป็นเพียงความแตกต่างพื้นฐานระหว่างการเรียงสับเปลี่ยนและการผสมผสาน อย่างไรก็ตาม ด้วยความรู้ที่อยู่เคียงข้างคุณ คุณสามารถจัดการกับความสับสนทั้งหมดที่นักเรียนมักเผชิญในขณะที่แก้ปัญหาเกี่ยวกับ PnC

หากคุณเข้าใจทุกอย่างในบทความนี้ เราขอแนะนำให้คุณเจาะลึกและทำความคุ้นเคยกับความแตกต่างอื่นๆ ของ combinatorics หากคุณไม่เข้าใจบทความดีพอ - โปรดถามข้อสงสัยของคุณในความคิดเห็นด้านล่าง

ที่ upGrad เราได้ฝึกอบรมนักศึกษาใหม่และผู้เชี่ยวชาญที่มีประสบการณ์ และประสบความสำเร็จในการช่วยนักเรียนหลายพันคนทั่วโลกให้เผชิญกับความกลัวและเปลี่ยนแปลงอาชีพของพวกเขา หลักสูตรการเรียนรู้ของเครื่องและปัญญาประดิษฐ์ของเราได้รับการออกแบบโดยคำนึงถึงน้องใหม่ ดังนั้น คณิตศาสตร์ สถิติ และการคำนวณที่จำเป็นทั้งหมดจึงได้รับการสอนให้นักเรียนในลักษณะที่เป็นประโยชน์มากที่สุด หนึ่งในหลักสูตรดังกล่าวคือ โปรแกรม Executive PG ในการเรียนรู้ของเครื่องและ AI นำเสนอโดยความร่วมมือกับ IIIT-B ตรวจสอบรายละเอียดหลักสูตรและลงทะเบียนเรียนวันนี้!