ความแตกต่างระหว่างการเปลี่ยนแปลงและการรวมกัน

ทั้งการเรียงสับเปลี่ยนและการรวมกันเป็นส่วนสำคัญของการนับตัวเลขด้วยตรรกะ การนับช่วยแก้ปัญหาความน่าจะเป็น ดังนั้นการเรียนรู้เกี่ยวกับพีชคณิตและการรวมกันก่อนที่จะเรียนรู้ความน่าจะเป็นจึงมีความสำคัญอย่างมาก ที่สำคัญคุณต้องทราบความแตกต่างที่สำคัญระหว่างสองสิ่งนี้ การเรียงสับเปลี่ยนพิจารณาลำดับของสมาชิก ในทางกลับกัน ลำดับไม่สำคัญในชุดค่าผสม ตัวอย่างเช่น การจัดเรียงตัวเลข วัตถุ หรือตัวอักษรอย่างเป็นระเบียบเรียกว่า การเรียงสับเปลี่ยน ในขณะที่การเลือกกลุ่มของวัตถุ ตัวเลข หรือตัวอักษรดังกล่าวถือได้ว่าเป็นชุดค่าผสม

ในบทความนี้ เราจะเน้นที่ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างการเรียงสับเปลี่ยนและการรวมกันโดยการกำหนดและแสดงตัวอย่างต่างๆ ที่จะช่วยให้เข้าใจแนวคิดที่แยกจากกันทั้งสองได้ดีขึ้น

รับใบรับรองการเรียนรู้ของเครื่องจากมหาวิทยาลัยชั้นนำของโลก รับ Masters, Executive PGP หรือ Advanced Certificate Programs เพื่อติดตามอาชีพของคุณอย่างรวดเร็ว

การเปลี่ยนแปลงคืออะไร?

การเรียงสับเปลี่ยนคือกระบวนการคัดเลือก โดยคำนึงถึงความเป็นระเบียบเรียบร้อย มันถูกกำหนดให้เป็นจำนวนวิธีการจัดเรียงสมาชิกสองสามคนหรือทุกคนในลำดับ ดังนั้น คำว่า 'การเรียงสับเปลี่ยน' จึงเป็นเรื่องเกี่ยวกับลำดับของสมาชิกในชุด

ตัวอย่างเช่น:

การเรียงสับเปลี่ยนของตัวอักษรชุดเล็ก {a, b, c} มีดังนี้:-

abc acb

bac bca

แท็กซี่ cba

สูตรสำหรับผลรวมของการเรียงสับเปลี่ยนของวัตถุ k ที่นำมาจากกลุ่มหรือชุดของ n โดยปกติเขียนเป็น nPk

สูตร:

nPk=n!(n−k)!=n(n-1)(n−2)…(n−n+1)(n−k)(n−k−1)(n−k−2)… (n−k−n−k+1)

การเรียงสับเปลี่ยนสองประเภทมีดังนี้:-

• พีชคณิตด้วยการทำซ้ำ

การเลือก r จากจำนวนองค์ประกอบที่ประกอบด้วย n ประเภทที่แตกต่างกัน การเรียงสับเปลี่ยนจะเป็น:

น×น×…

(r ครั้ง)

ในทำนองเดียวกัน ไม่มีความเป็นไปได้ใดๆ สำหรับกระบวนการคัดเลือกครั้งแรก ดังนั้นจึงไม่มีความเป็นไปได้ใด ๆ สำหรับกระบวนการคัดเลือกครั้งต่อไป ซึ่งจะทวีคูณขึ้นทุกครั้ง

มันง่ายกว่าที่จะเขียนโดยใช้เลขชี้กำลังของ r:

ดังนั้น nr=n×n×…

(มากถึง r ครั้ง)

ดังนั้นสูตรคือ: nr,

ในที่นี้ n คือจำนวนองค์ประกอบทั้งหมดที่คุณต้องเลือกจากชุดหรือคลัสเตอร์ขององค์ประกอบ เราต้องเลือก r จากพวกมัน สิ่งสำคัญคือต้องทราบด้วยว่าลำดับมีความสำคัญและอนุญาตให้ทำซ้ำได้

โปรแกรม AI & ML ของเราในสหรัฐอเมริกา

• พีชคณิตโดยไม่ต้องทำซ้ำ

ขาดการทำซ้ำ ตัวเลือกจะลดลงทุกครั้ง ลองดูตัวอย่างที่ง่ายที่สุดและใช้บ่อยที่สุด:

จำนวนมือที่แตกต่างกันของไพ่ 4 ใบที่ทำจากสำรับไพ่:-

ในปัญหาเฉพาะนี้ ลำดับนั้นไม่เกี่ยวข้องเพราะไม่สำคัญว่าลำดับใดจะตามมาในการเลือกไพ่ เราจะเริ่มต้นด้วยสี่บรรทัดเพื่อเป็นตัวแทนของไพ่ 4 ใบ สมมติว่า '52' อยู่ในช่องว่างแรกจากทั้งหมด 52 ใบในการดึงครั้งแรก เมื่อเลือกไพ่แล้ว ไพ่หนึ่งใบก็ถูกเลือกไว้แล้ว ดังนั้นจะมีไพ่น้อยกว่าหนึ่งใบสำหรับการจับฉลากครั้งต่อไป ดังนั้น ช่องว่างที่สองจะทำให้คุณมีตัวเลือก 51 ตัวเลือก นอกจากนี้ คุณจะได้รับไพ่น้อยลงสองใบในการจั่วครั้งต่อไปในสำรับ ทำให้คุณมี 50 ตัวเลือก สูตรมีดังนี้ -

P(nr)=nPr=n!(n−k)!

ผลลัพธ์ของการใช้สูตรข้างต้นแสดงไว้ด้านล่าง:-

ป(524)=52P4=52!48!

ในที่นี้ n คือจำนวนออบเจ็กต์ที่คุณต้องเลือกจากชุดขององค์ประกอบ และเราเลือก r ของพวกมัน ไม่มีการทำซ้ำและระเบียบไม่สำคัญที่นี่

ตัวอย่างการเปลี่ยนแปลง

• การจัดเรียงตัวเลข ตัวอักษร ตัวเลข ตัวอักษร คน สี และอื่นๆ
• การเลือกผู้รักษาประตูหรือกัปตันทีมและเฉพาะจากกลุ่มเดียว
• การเลือกสองสีที่ชอบที่สุดจากหนังสือสีตามลำดับ
• คัดเลือกผู้ชนะตำแหน่งที่หนึ่ง สอง และสาม

การรวมกันคืออะไร?

การรวมกันเป็นวิธีการเลือกรายการจากคอลเลกชันขนาดใหญ่ที่ลำดับการเลือกไม่สำคัญ เราสามารถพูดง่ายๆ ได้ว่าการรวมกันเป็นวิธีการเลือกกลุ่มหนึ่งโดยการเลือกสมาชิกทั้งหมดหรือบางคนในชุด ไม่มีลำดับเฉพาะที่ต้องปฏิบัติตามเมื่อรวมองค์ประกอบในชุด

ในกรณีที่ค่อนข้างเล็ก การนับจำนวนชุดค่าผสมจริงจะง่ายกว่า การรวมกันหมายถึงการรวมกันของ n จำนวนของสิ่งต่าง ๆ ที่ถูกถ่าย k ในครั้งเดียวโดยไม่ซ้ำกัน เป็นการเลือกวัตถุ r จากชุดของวัตถุ n ชุดใดชุดหนึ่งโดยไม่ได้เปลี่ยนและไม่ได้พิจารณาลำดับ มีหลายวิธีในการสร้างชุดค่าผสมและทั้งหมดนั้นถูกต้องตามสิทธิของตนเอง ไม่ได้กำหนดวิธีการเฉพาะหรือวิธี 'ถูกต้อง' เพื่อหาชุดค่าผสมหนึ่งชุด ดังนั้นจึงเรียกว่าเป็นชุดค่าผสม

ด้วยการใช้สูตรผสมต่อไปนี้ คุณสามารถรับชุดค่าผสมในชุดที่กำหนดได้อย่างง่ายดาย

C(nr)=nCr=nPrr!=n!r!(n−k)!

ด้านล่าง เราได้แสดงตัวอย่างเพื่ออธิบายสิ่งนี้:-

ให้เราใช้ตัวเลขสามหลัก (1,2,3) เพื่อสร้างตัวเลขสามหลัก ดังนั้นเราสามารถอนุมานได้ว่ามีเพียงตัวเลขด้านล่างเท่านั้นที่เป็นไปได้:-

123, 132, 213, 231, 312, 321..

ชุดค่าผสมช่วยให้เข้าใจได้ง่ายขึ้นว่าสามารถใส่ "1 2 3" ลงในลำดับที่เฉพาะเจาะจงได้อย่างไร ดังที่เราเคยเห็นมาก่อนหน้านี้ คำตอบคือ:

3! = 3 ×

2 ×

1 = 6

ดังนั้น สูตรของพีชคณิตจึงถูกพิมพ์ซ้ำเพื่อลดจำนวนวิธีในการจัดลำดับออบเจ็กต์

ตัวอย่างการรวมกัน

• การเลือกอาหาร เมนู วิชา เสื้อผ้า ทีม ฯลฯ
• การเลือกสมาชิกสามคนจากทีมหรือกลุ่ม
• การเลือกสองสีจากหนังสือสี
• คัดเลือกผู้ชนะเพียงสามคนเท่านั้น

ประเด็นสำคัญของความแตกต่างระหว่างการเรียงสับเปลี่ยนและการรวมกัน

ขณะคำนวณความน่าจะเป็น การเรียนรู้ความแตกต่างระหว่างการเรียงสับเปลี่ยนและการรวมเป็นกุญแจสำคัญในการเชี่ยวชาญ ประเด็นสำคัญของความแตกต่างได้แสดงไว้ในตารางด้านล่าง:-

ตัวอย่างการใช้การเรียงสับเปลี่ยนและการรวมกัน

ตัวอย่างเช่น หากเราจำเป็นต้องค้นหากลุ่มตัวอย่างที่น่าจะเป็นสองจากสามวัตถุ X, Y และ Z เราต้องเข้าใจว่าวิธีการใดที่เกี่ยวข้องกับปัญหานี้โดยเฉพาะ ดังนั้นเราจะต้องตรวจสอบว่าจำเป็นต้องพิจารณาลำดับหรือไม่

หากลำดับของอ็อบเจ็กต์เป็นส่วนประกอบสำคัญของปัญหานี้ แสดงว่าเกี่ยวข้องกับการเรียงสับเปลี่ยน ตัวอย่างที่เป็นไปได้จะเป็นดังนี้:

XY, YX, YZ, ZY, XZ และ ZX

ในกรณีนี้ XY จะแตกต่างจากตัวอย่าง YX YZ แตกต่างจากตัวอย่าง ZY XZ แตกต่างจาก ZX ตัวอย่าง

อย่างไรก็ตาม หากลำดับของอ็อบเจ็กต์เป็นอาณัติ ปัญหาก็สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีการรวมกัน โดยที่ตัวอย่างที่เป็นไปได้จะเป็นดังนี้:

XY, YZ และ ZX

ความคล้ายคลึงกันระหว่างการเปลี่ยนแปลงและการรวมกัน

หากเราพิจารณาแนวคิดทางคณิตศาสตร์ “พีชคณิต” และ “การรวมกัน” มีความเกี่ยวข้องกัน การนับการเลือกจากวัตถุ n รายการเรียกว่าการรวมกัน ในขณะที่การนับการจัดเรียงทั้งหมดจากวัตถุ n รายการเป็นการเรียงสับเปลี่ยน เราต้องจำไว้ว่าชุดค่าผสมจะเน้นไปที่ลำดับ การจัดเรียง หรือการจัดวาง แต่เน้นที่การเลือกเป็นหลัก

บล็อกการเรียนรู้ของเครื่องยอดนิยมและปัญญาประดิษฐ์

บทสรุป

สามารถสรุปได้ง่าย ๆ ว่าการเรียงสับเปลี่ยนและการรวมเป็นส่วนสำคัญในด้านสถิติ คณิตศาสตร์ การวิจัย และชีวิตประจำวันของเรา สิ่งสำคัญคือต้องสังเกตว่าการเรียงสับเปลี่ยนควรจะสูงกว่าการรวมกันเสมอ หากคุณต้องการทราบข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงและการรวมกัน คุณสามารถเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับแนวคิดเหล่านี้ได้จากหลักสูตรระดับบนสุดของ upGrad หนึ่งหลักสูตรที่ยอดเยี่ยมคือวิทยาศาสตรมหาบัณฑิตในการเรียนรู้ของเครื่องและปัญญาประดิษฐ์