Перестановка против комбинации: разница между перестановкой и комбинацией

Комбинаторика — область математики, занимающаяся подсчетом, расположением, перестановками и комбинациями — часто является одной из самых запутанных областей. Тем не менее, он составляет основу всей области вероятности и в конечном итоге играет решающую роль в машинном обучении и искусственном интеллекте. По этим причинам перестановки и комбинации — это тема, которую необходимо освоить, прежде чем двигаться дальше.

Одной из основных путаниц, которые действуют как контрольно-пропускной пункт, является разница между перестановками и комбинациями. По этой причине мы подробно рассмотрим ключевые определения и особенности перестановок и комбинаций. Это объяснит, чем оба эти термина отличаются и какой из них следует применять в каком сценарии.

Давай начнем!

Что такое перестановки и комбинации - различия между ними

Давайте попробуем понять эти важные термины, используя несколько примеров. Предположим, вы хотите заказать салат на обед. Ваш предпочтительный салат может состоять из помидоров, моркови, редиски и свеклы. Теперь вас не волнует порядок, в котором эти отдельные овощи добавляются в ваш салат, пока они все там. Все, о чем вы заботитесь, это наличие всех необходимых овощей в салатнице. Салат может состоять из «помидоров, моркови, редиски и свеклы» или «помидоров, моркови, свеклы и редьки». Оба сценария в идеале будут одинаковыми для вас как потребителя салата.

Присоединяйтесь конлайн-курсу по машинному обучениюв ведущих университетах мира — магистерским программам, программам последипломного образования для руководителей и программам повышения квалификации в области машинного обучения и искусственного интеллекта, чтобы ускорить свою карьеру.

Начиная с перестановки

Теперь давайте немного изменим пример и подумаем о PIN-коде вашей дебетовой карты. Если ваш PIN-код 7986, это набор цифр 7, 8, 9 и 6. Однако в этом случае не все комбинации этих цифр будут вашим PIN-кодом. Это всего лишь одна конкретная последовательность — 7896 — это ваш PIN-код. В этом случае важен порядок.

Перестановки точно такие же, как ваши данные PIN - порядок чрезвычайно важен. Детали важны для перестановок. В перестановке 6/8/9 полностью отличается от 9/6/8, которое отличается от 8/6/9 и так далее. Следовательно, для перестановок порядок сущностей должен быть сохранен любой ценой.

Итак, чтобы определить это в немного более техническом смысле — перестановка — это процесс выбора различных элементов, где порядок выбора имеет значение. Его можно описать как количество способов расположения некоторых или всех элементов данного набора.

Например, рассмотрим набор — {a, b, c}. При этом все перестановки элементов следующие:

• азбука
• акб
• бак
• bca
• такси
• ЦБ

Особые случаи перестановок

Есть два особых случая перестановок, которые вы должны иметь в виду:

1. С повторением

Можно сказать, что перестановки для «k» чего-то из общего количества «n» различных типов выполняются n*n*n*…k раз.

Причина этого проста – когда вещь имеет n различных типов… каждый раз у вас есть «n» вариантов выбора.

Например: выбрав 3 из этих вещей, перестановки таковы:

п × п × п

(n умножается на 3)

В более общем смысле: выбирая «n» из чего-то, что имеет «k» разных типов, перестановки таковы:

п × п × … (к раз)

2. Без повторения

Без повторения выбор не будет оставаться «n» каждый раз. Вместо этого значения продолжают уменьшаться с каждым вашим выбором. Вот пример, чтобы понять это лучше:

Попробуйте подумать о количестве различных рук из 4 карт, составленных из колоды карт?

Теперь для первой карты у вас есть возможность выбрать любую 1 из 52 карт. Итак, у вас есть 52 варианта. После того, как вы сделали свой первый выбор, вы не можете снова выбрать ту же карту, поэтому вариантов для следующего слота становится 51. Точно так же каждый следующий розыгрыш будет приводить к меньшему количеству вариантов от вас, чем раньше. Эту формулу можно обобщить следующим образом:

Чтобы обобщить это, формула для различных перестановок «k» разных объектов из группы «n» разных объектов может быть представлена ​​​​как:

P(n,k) = nPk = n! / (n−k)!

Где nPk — количество перестановок «k» разных объектов из набора «n» разных объектов, а n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*…. .

Переходим от перестановок – теперь к комбинациям

Комбинацию можно понимать как метод определения количества различных возможных расположений в наборе различных элементов, где порядок выбора не имеет значения. В комбинации вы можете выбирать элементы в любом порядке — вспомните наш предыдущий пример салатницы.

Таким образом, комбинация — это просто способ выбора различных предметов из большой коллекции, так что порядок не имеет значения. Чтобы лучше понять это, возьмем следующий пример:

Предположим, у нас есть три цифры — 1, 2, 3 — и мы хотим составить трехзначное число. Возможные числа: 123, 213, 132, 231, 312 и 321. Используя комбинации, мы можем найти количество способов, которыми 1, 2, 3 можно проще расположить в определенном порядке. Комбинация представляет собой выбор k вещей из набора n вещей без замены и может быть записана математически следующим образом:

C(n,k) = nCk = n! / к! * (n−k)!

Давайте лучше разберемся в этой формуле на примере. Попробуйте найти, сколькими способами тренер может выбрать трех пловцов из группы из 6 пловцов.

Используя формулу:

nCk = n! / к! * (n−k)!

В нашем вопросе значение n равно 6, а значение k равно 3. Сохраняя это в формуле, мы получаем:

С(6,3) = 6! / 3!*2! = 60 => Тренер может выбрать 3 пловцов из группы из 6 пловцов 60 различными способами.

Некоторые распространенные примеры перестановок и комбинаций

Давайте рассмотрим несколько повседневных примеров, которые помогут вам лучше понять разницу между перестановками и комбинациями. Благодаря этим примерам вы сможете легко определить различия между этими двумя методами.

1. Перестановки

• Расположение разных людей, чисел, алфавитов, цифр, овощей или цветов.
• Выбор капитана команды из команды из 11 игроков.
• Выбор трех любимых цветов из нескольких разных цветов.
• Выбор первого, второго и третьего победителей.

2. Комбинации

• Выбор меню еды, одежды из списка, тематики курсов и т.д.
• Выбор разного количества людей из группы людей.
• Выбираем два цвета из каталога цветов.
• Выбираем только четырех победителей.

Связь между перестановкой и комбинацией

Перестановки и комбинации, по сути, относятся к различным способам выбора объектов из набора — как с повторением, так и без него — для формирования новых субъектов. Итак, обе эти концепции можно понимать как подсчет количества подмножеств для данного множества. Этот выбор подмножеств называется перестановкой, когда важен порядок выбора, и комбинацией, когда порядок не так важен.

В более математическом смысле перестановка и комбинация тесно связаны друг с другом. Комбинация — это просто подсчет различных вариантов выбора, которые можно сделать из n объектов. С другой стороны, перестановка подсчитывает количество различных расположений из n объектов.

Если вы внимательно посмотрите на приведенные ниже две формулы перестановки и комбинации, вы сможете самостоятельно вывести математическую связь между ними. Проверь это:

• nPr = n!/(nr)!
• nCr = n!/[r! (номер)!]

=> nPr = nCr / r!

=> nCr = r! * энергетический ядерный реактор

Упомянутое выше уравнение представляет собой математическую связь между перестановкой и комбинацией.

Разница между перестановкой и комбинацией

Вот таблица, которая облегчит понимание основных различий между перестановкой и комбинацией.

Давайте поймем разницу между перестановкой и комбинацией на примере, чтобы дать вам представление о том, как мы используем их в реальной жизни.

• Формирование команды для игры. Мы часто используем комбинации, чтобы определить, сколько возможных команд можно сформировать из большой группы игроков, чтобы обеспечить справедливое распределение.
• Рассадка на мероприятии. Вы можете использовать формулу перестановки, чтобы определить количество возможных рассадок для официальных мероприятий или официальных планов рассадки.
• Комбинация при формировании комитетов: Вы можете применить комбинации, чтобы выяснить возможность формирования комитета, выбрав несколько человек из большей группы.
• Создание пароля: мы также можем использовать перестановки для расчета количества возможных паролей, которые можно сформировать с использованием заданного набора цифр, символов и алфавитов.

Очки, чтобы помнить

• Комбинация — это количество способов, которыми вы можете выбрать подмножество объектов из большего набора, не принимая во внимание порядок. В то время как перестановка — это различное количество способов, которыми вы можете расположить набор объектов в определенном порядке.
• Если значения n и k одинаковы, то количество перестановок всегда будет превышать количество комбинаций.
• Поскольку при расчете комбинаций порядок не имеет значения, результат выбора одних и тех же k объектов из набора из n элементов всегда будет одним и тем же.
• Поскольку при перестановке важен порядок, даже если вы выберете одни и те же k объектов из набора из n объектов, результат будет различаться в зависимости от порядка выбора.

В заключение

На этом мы подошли к концу этого сообщения в блоге о различиях между перестановкой и комбинацией. Имейте в виду, что область комбинаторики исключительно обширна и закладывает основу многих других жизненно важных областей математики, особенно когда речь идет о прикладных областях, таких как вероятность или машинное обучение. То, что мы обсудили в статье, — это просто фундаментальные различия между перестановкой и комбинацией. Однако, обладая этими знаниями, вы сможете легко справиться со всеми путаницами, с которыми обычно сталкиваются студенты при решении проблем, связанных с PnC.

Если вы все поняли в этой статье, рекомендуем вам погрузиться глубже и ознакомиться с другими нюансами комбинаторики. Если вы не слишком хорошо поняли статью — пожалуйста, задавайте свои сомнения в комментариях ниже.

В upGrad мы обучаем новичков и опытных профессионалов и успешно помогли тысячам студентов по всему миру справиться со своими страхами и изменить свою карьеру. Наши курсы по машинному обучению и искусственному интеллекту разработаны с учетом новичков. Таким образом, вся необходимая математика, статистика, вычисления преподаются студентам наиболее практичным образом. Одним из таких курсов является программа Executive PG по машинному обучению и искусственному интеллекту. предлагается в сотрудничестве с IIIT-B. Узнайте подробности курса и запишитесь уже сегодня!