Distribuția Poisson și procesul Poisson explicate [cu exemple]

Distribuția Poisson este un subiect în cadrul teoriei și statisticilor probabilităților utilizate în mod popular de întreprinderi și pe piața comercială. Este folosit pentru a prezice cantitatea de variație de la o anumită rată medie de apariție într-un interval de timp. Acest lucru este explicat în detaliu în secțiunile următoare.

Procesul Poisson

Procesul Poisson este un proces stocastic utilizat pe scară largă pentru modelarea seriei de evenimente discrete care apar atunci când se cunoaște media evenimentelor, dar evenimentele au loc la întâmplare. Deoarece evenimentele se petrec la întâmplare, ele pot apărea unul după altul sau poate fi o perioadă lungă de timp între două evenimente.

Durata medie a evenimentelor este doar constantă. Deci, de exemplu, dacă se știe că într-un anumit oraș, un cutremur lovește în medie de patru ori pe an; aceasta ar putea însemna că patru cutremure ar putea avea loc în patru zile consecutive într-un an, sau timpul dintre două dintre cutremure ar putea fi de șapte luni.

Acesta este procesul Poisson, iar probabilitatea fiecărui eveniment poate fi calculată.

Este important ca un proces Poisson să îndeplinească următoarele criterii:

• Evenimentele ar trebui să fie independente unele de altele. Deci, apariția unui eveniment nu ar trebui să afecteze probabilitatea ca un alt eveniment să se producă.

• Rata medie a evenimentelor, adică evenimentele pe perioadă de timp, este constantă.

• Două evenimente nu ar trebui să aibă loc în același timp.

Citiți: Distribuția probabilității

Distribuția Poisson

Numită după matematicianul francez Simeon Denis Poisson, distribuția Poisson este o distribuție de probabilitate discretă folosită pentru a prezice probabilitatea ca anumite evenimente să aibă loc atunci când este cunoscută rata medie a evenimentului. În exemplul de mai sus, distribuția Poisson poate fi utilizată pentru a prezice probabilitatea ca un cutremur să se producă la un moment dat al anului.

Poate fi folosit și pentru a prezice apariția evenimentului în diferite alte intervale specificate, cum ar fi suprafața, volumul sau distanța.

Funcția de masă a probabilității distribuției Poisson furnizează probabilitatea de a observa k evenimente într-o perioadă de timp când este dată lungimea dată a perioadei și evenimentele medii pe timp. Formula este următoarea:

P (k evenimente în interval) = e-λ * λk/k!

Aici λ, lambda, este parametrul ratei, k este de câte ori are loc un eveniment în timpul perioadei de timp, e este numărul lui Euler și k! este factorialul lui k.

Folosind un exemplu simplu, putem vedea cum poate fi calculată probabilitatea. Dacă numărul mediu de cutremure care lovesc un oraș este de 2 pe an, să calculăm probabilitatea ca 3 cutremure să lovească orașul în anul următor.

Aici, k este 3, λ este 2 și e este numărul lui Euler, adică 2,71828. Introducând aceste valori în ecuația de mai sus, obținem P egal cu 0,180. Aceasta înseamnă că probabilitatea este de 18%. Putem concluziona că probabilitatea ca orașul să fie lovit de 3 cutremure anul viitor este de 18%.

Proprietăți ale distribuției Poisson

• Media unei variabile aleatoare distribuite Poisson este λ. Aceasta este și valoarea așteptată.
• Varianta unei variabile aleatoare distribuite Poisson este, de asemenea, aceeași cu media, λ.
• Numărul de încercări într-o distribuție Poisson poate fi extrem de mare. Astfel, poate fi aproape de infinit.
• Probabilitatea constantă de succes în fiecare încercare este minimă. Astfel, este aproape de zero.
• Deoarece distribuția Poisson este caracterizată de un singur parametru λ, este cunoscută și ca distribuție uni-parametrică.
• Similar cu distribuția binomială, distribuția Poisson poate fi unimodală sau bimodală, în funcție de parametrul ratei, λ. Dacă nu este un întreg, atunci distribuția va fi uni-modală, iar dacă este un întreg, atunci va fi bi-modală.

Exemple de distribuție Poisson

Există multe sectoare în care distribuția Poisson poate fi utilizată pentru a prezice probabilitățile unui eveniment. Este folosit în multe domenii științifice și este popular și în sectorul de afaceri. Câteva dintre exemple sunt prezentate mai jos.

1. Verificarea cantității de produs necesară pe parcursul unui an. Dacă o afacere/supermarket/magazin cunoaște cantitatea medie de produse utilizate într-un an de către clienții lor, poate folosi modelul de distribuție Poisson pentru a prezice în ce lună produsul se vinde mai mult. Acest lucru îi poate ajuta să păstreze cantitatea necesară de produs și să prevină pierderile acestora.

2. Verificarea personalului serviciului pentru clienți. Dacă firma poate calcula numărul mediu de apeluri într-o zi care necesită mai mult de cincisprezece minute pentru a fi gestionate, poate utiliza modelul pentru a prezice numărul maxim de apeluri pe oră care necesită mai mult de cincisprezece minute. Calculând acest lucru, ei pot evalua dacă au nevoie de mai mult personal.

3. Poate fi folosit pentru a prezice probabilitatea apariției unor inundații, furtuni și alte dezastre naturale. Acest lucru poate fi posibil dacă se cunoaște numărul mediu de astfel de dezastre pe an. Cu aceste predicții, împreună cu alte aplicații tehnologice, este posibil să se evite pierderile umane și ale proprietăților pentru multe țări sau regiuni.

4. Poate fi folosit și în sectoarele financiare, dar acestea nu sunt neapărat exacte. Acest lucru poate ajuta la furnizarea unei estimări a probabilității de creștere sau scădere a piețelor de valori la un anumit moment.

5. Modelul de distribuție Poisson poate fi folosit și în fizică, biologie, astronomie etc. pentru a prezice probabilitatea ca meteoriți să intre în atmosfera Pământului și să fie vizibili în anumite regiuni ale lumii.

Concluzie

Un subiect popular în statistică, distribuția Poisson a fost explicată în detaliu prin diferite secțiuni din acest articol. Este un subiect important de înțeles pentru studenții și profesioniștii interesați să învețe despre statistici și probabilități.

Modelul poate fi folosit în viața reală și în diverse subiecte precum fizica, biologia, astronomia, afacerile, finanțele etc., pentru a estima probabilitatea ca un eveniment să se producă așa cum este menționat în exemple. Subiecte similare în statistică, știința datelor, învățarea automată etc. pot fi găsite pe upGrad, ceea ce vă va ajuta să-și extindă învățarea și să aplice aceste concepte la diferite probleme.

Dacă sunteți interesat să aflați mai multe despre învățarea automată, consultați Diploma PG de la IIIT-B și upGrad în Învățare automată și AI, care este concepută pentru profesioniști care lucrează și oferă peste 450 de ore de pregătire riguroasă, peste 30 de studii de caz și sarcini, IIIT- B Statut de absolvenți, peste 5 proiecte practice practice și asistență pentru locuri de muncă cu firme de top.