Permutare vs combinație: diferența dintre permutare și combinație

Combinatoria – domeniul matematicii care se ocupă de numărare, aranjamente, permutări și combinații – este adesea una dintre cele mai confuze domenii. Cu toate acestea, formează baza întregului domeniu al probabilității și în cele din urmă joacă un rol crucial în învățarea automată și inteligența artificială. Din aceste motive, Permutările și Combinațiile este un subiect care trebuie stăpânit înainte de a continua.

Una dintre confuziile principale care acționează ca un obstacol este diferența dintre permutări și combinații. Din acest motiv, vom arunca o privire în profunzime asupra definițiilor și caracteristicilor cheie ale Permutărilor și Combinațiilor. Aceasta va explica modul în care ambii termeni diferă și care ar trebui aplicat în ce scenariu.

Sa incepem!

Ce sunt permutările și combinațiile - diferențele dintre ele

Să încercăm să înțelegem acești termeni cruciali folosind câteva exemple. Să presupunem că vrei să comanzi o salată pentru prânz. Salata ta preferată poate fi un amestec de roșii, morcovi, ridichi și sfeclă roșie. Acum, nu-ți pasă de ordinea în care aceste legume individuale sunt adăugate în salată, atâta timp cât sunt toate acolo. Tot ce îți pasă este să ai toate legumele necesare în bolul tău de salată. Salata poate consta din „rosii, morcovi, ridichi si sfecla rosie” sau „rosii, morcovi, sfecla rosie si ridichi”. Ambele scenarii vor fi în mod ideal aceleași pentru tine – ca consumator de salată.

Alăturați-văCursului de învățare automată online de la cele mai bune universități din lume – Master, Programe Executive Postuniversitare și Program de Certificat Avansat în ML și AI pentru a vă accelera cariera.

Începând cu Permutarea

Acum, să schimbăm puțin exemplul și să ne gândim la PIN-ul cardului de debit. Dacă PIN-ul dvs. este 7986, este o colecție de cifre 7, 8, 9 și 6. Cu toate acestea, în acest caz, nu toate aranjamentele acestor cifre vor ajunge să fie codul dvs. Este doar o secvență specifică – 7896 – care este PIN-ul tău. În acest caz, comanda este esențială.

Permutările sunt exact ca și detaliile PIN-ul tău – comanda este extrem de importantă. Detaliile sunt importante pentru permutări. Pentru o permutare, 6/8/9 este complet diferit de 9/6/8, care este diferit de 8/6/9 și așa mai departe. Pentru permutări, așadar, ordinea entităților trebuie păstrată cu orice preț.

Deci, pentru a-l defini într-un sens puțin mai tehnic - Permutarea este un proces de selectare a diferitelor elemente în care ordinea selecției contează. Poate fi descris ca numărul de moduri de aranjare a unora sau a tuturor elementelor unui set dat.

De exemplu, luați în considerare o mulțime – {a, b, c}. În aceasta, toate permutările elementelor sunt după cum urmează:

• abc
• acb
• bac
• bca
• taxi
• cba

Cazuri speciale de permutări

Există două cazuri speciale de Permutări de care ar trebui să ții cont:

1. Cu Repetiție

Permutările pentru „k” a ceva din totalul „n” tipuri diferite se poate spune că sunt de n*n*n*…k ori.

Motivul pentru acest lucru este simplu – atunci când un lucru are n tipuri diferite … aveți „n” număr de opțiuni de fiecare dată.

De exemplu: alegând 3 dintre aceste lucruri, permutările sunt:

n × n × n

(n multiplicat de 3 ori)

Mai general: alegând „n” ceva care are „k” tipuri diferite, permutările sunt:

n × n × … (de k ori)

2. Fără Repetare

Fără repetiție, alegerile nu vor rămâne „n” de fiecare dată. În schimb, valorile continuă să scadă cu fiecare alegere pe care o faci. Iată un exemplu pentru a înțelege mai bine acest lucru:

Încercați să vă gândiți la numărul de mâini diferite cu 4 cărți făcute dintr-un pachet de cărți?

Acum, pentru prima carte, aveți opțiunea de a selecta oricare dintre cele 52 de cărți. Deci, aveți 52 de opțiuni. Odată ce ați făcut prima alegere, nu puteți alege din nou aceeași carte, astfel încât alegerile pentru următorul slot devin 51. De asemenea, fiecare extragere următoare va avea ca rezultat mai puține alegeri din partea dvs. decât mai devreme. Această formulă poate fi generalizată astfel:

Pentru a generaliza acest lucru, formula pentru diferitele permutări ale „k” obiecte diferite dintr-un grup de „n” obiecte diferite poate fi dată ca:

P(n,k) = nPk = n! / (n−k)!

Unde nPk este numărul de permutări ale „k” obiecte diferite dintr-un set de „n” obiecte diferite și n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*…. .

Trecerea de la Permutări – acum la Combinații

O combinație poate fi înțeleasă ca o tehnică de determinare a numărului de aranjamente diferite posibile într-un set de elemente diferite – unde ordinea selecției nu este relevantă. În combinație, puteți selecta articolele în orice ordine - amintiți-vă exemplul nostru anterior al bolului dvs. de salată.

Prin urmare, combinația este pur și simplu modalitatea de a selecta diferite articole dintr-o colecție în vrac, astfel încât comanda să nu fie importantă. Pentru a înțelege mai bine acest lucru, luați următorul exemplu:

Să presupunem că avem trei cifre – 1, 2, 3 – și vrem să facem un număr din trei cifre. Numerele posibile sunt 123, 213, 132, 231, 312 și 321. Folosind combinații, putem găsi numărul de moduri în care 1, 2, 3 pot fi plasate într-o anumită ordine mai ușor. O combinație este selecția a k lucruri dintr-o colecție de n lucruri fără nicio înlocuire și poate fi scrisă matematic în următoarea manieră:

C(n,k) = nCk = n! /k! * (n−k)!

Să înțelegem mai bine această formulă folosind un exemplu. Încercați să aflați numărul de moduri în care un antrenor poate alege trei înotători dintr-un grup de 6 înotători.

Folosind formula:

nCk = n! /k! * (n−k)!

În întrebarea noastră, valoarea lui n este 6, iar valoarea lui k este 3. Păstrând asta în formulă, obținem:

C(6,3) = 6! / 3!*2! = 60 => Antrenorul poate alege 3 înotători dintr-un set de 6 înotători în 60 de moduri diferite.

Câteva exemple comune de permutări și combinații

Să ne uităm la câteva exemple de zi cu zi pentru a vă ajuta să înțelegeți mai bine diferențele dintre permutări și combinații. Prin aceste exemple, veți putea identifica cu ușurință diferențele dintre aceste două tehnici.

1. Permutări

• Aranjarea diferitelor persoane, numere, alfabete, cifre, legume sau culori.
• Selectarea unui căpitan de echipă dintr-o echipă de 11 jucători.
• Alegerea a trei culori preferate din mai multe culori diferite.
• Selectarea primului, al doilea și al treilea câștigător.

2. Combinații

• Selectarea meniului alimentar, a hainelor dintr-o listă, a subiectelor pentru cursuri etc.
• Alegerea unui număr diferit de persoane dintr-un grup de persoane.
• Alegerea a două culori dintr-o carte de culori.
• Alegerea doar a patru câștigători.

Relația dintre permutare și combinație

Permutările și Combinațiile se referă în esență la diferitele moduri în care obiectele dintr-un set pot fi selectate – atât cu sau fără Repetiție – pentru a forma noi subiecte. Deci, ambele concepte pot fi înțelese ca numărând numărul de submulțimi pentru o anumită mulțime. Această selecție de submulțimi se numește permutare atunci când ordinea selecției este importantă și o combinație când ordinea nu este atât de importantă.

Într-un sens mai matematic, permutarea și combinația sunt strâns legate între ele. Combinația este pur și simplu numărarea diferitelor selecții care pot fi făcute din n obiecte. Pe de altă parte, permutarea înseamnă numărarea numărului de aranjamente diferite din n obiecte.

Dacă te uiți îndeaproape la cele două formule de mai jos de Permutare și Combinație, vei putea deriva singur o relație matematică între cele două. Verifică:

• nPr = n!/(nr)!
• nCr = n!/[r! (nr)!]

=> nPr = nCr / r!

=> nCr = r! * NPR

Ecuația menționată mai sus este relația matematică dintre permutare și combinație.

Diferența dintre permutare și combinație

Iată un tabel care va face diferențele de bază dintre permutare și combinație mai ușor de înțeles.

Să înțelegem diferența dintre permutare și combinație cu exemplu pentru a vă face o idee despre cum le folosim în viața reală.

• Formarea unei echipe pentru un joc: folosim adesea combinații pentru a determina câte echipe posibile ar putea fi formate dintr-un grup mare de jucători pentru a asigura o distribuție corectă.
• Aranjarea locurilor pentru un eveniment: puteți utiliza formula de permutare pentru a determina numărul posibilelor aranjamente de locuri pentru evenimente formale sau planuri oficiale de locuri.
• Combinarea în timpul formării comitetelor: Puteți aplica combinații pentru a afla posibilitatea de a forma un comitet selectând câteva persoane dintr-un grup mai mare.
• Crearea unei parole: putem folosi și permutări pentru a calcula numărul de parole posibile care pot fi formate folosind un anumit set de numere, simboluri și alfabete.

Puncte de reținut

• Combinația este numărul de moduri în care puteți selecta un subset de obiecte dintr-un set mai mare fără a lua în considerare ordinea. În timp ce permutarea este numărul diferit de moduri în care puteți aranja un set de obiecte într-o anumită ordine.
• Dacă valorile n și k sunt aceleași, atunci numărul de permutări va depăși întotdeauna numărul de combinații.
• Deoarece ordinea nu contează la calcularea combinațiilor, rezultatul alegerii acelorași k obiecte dintr-un set de n elemente va fi întotdeauna același.
• Deoarece ordinea este esențială în permutare, chiar dacă alegeți aceleași k obiecte dintr-un set de n obiecte, rezultatul va diferi în funcție de ordinea selecției.

În concluzie

Cu asta, ajungem la sfârșitul acestei postări pe blog despre diferențele dintre Permutare și Combinație. Rețineți că domeniul combinatoriei este excepțional de vast și stabilește baza multor alte domenii vitale ale matematicii - mai ales când vine vorba de domenii aplicative precum Probabilitatea sau Învățarea automată. Ceea ce am discutat în articol este doar diferențele fundamentale dintre Permutare și Combinație. Cu toate acestea, cu aceste cunoștințe alături, puteți aborda cu ușurință toate confuziile cu care se confruntă în general studenții în timp ce rezolvă problemele din jurul PnC.

Dacă ați înțeles totul în acest articol, vă recomandăm să vă scufundați mai profund și să vă familiarizați cu alte nuanțe de combinatorie. Dacă nu ați înțeles prea bine articolul - vă rugăm să vă întrebați îndoielile în comentariile de mai jos.

La upGrad, am pregătit profesioniști cu experiență și am ajutat cu succes mii de studenți de pe tot globul să-și facă față temerilor și să-și transforme cariera. Cursurile noastre de învățare automată și inteligență artificială sunt concepute ținând cont de cei mai proaspăți. Deci, toate matematica, statistica, calculul esențial sunt predate studenților în cel mai practic mod. Un astfel de curs este Programul Executive PG în Machine Learning și AI oferit în colaborare cu IIIT-B. Consultați detaliile cursului și înscrieți-vă astăzi!