Probabilitatea condiționată explicată cu aplicații din viața reală

Ce este probabilitatea condiționată?

Probabilitatea condiționată, în teoria probabilității, este definită ca măsură a probabilității ca un eveniment să se producă, presupunând că un alt eveniment sau rezultat a avut loc anterior. Se exprimă ca înmulțirea probabilității evenimentului petrecut anterior cu probabilitatea evenimentului condiționat care a avut loc succesiv.

Deci, dacă avem evenimentele A și B unde P(B)>0, calculăm probabilitatea condiționată a lui A când B a avut deja loc, P(A | B) ca

P(A | B)=P(A∩B)P(B)

• | este folosit pentru a desemna „dat” în „cazurile în care are loc un alt eveniment”
• ∩ este folosit pentru a desemna intersecția

În timp ce calculăm probabilitatea condiționată, se presupune că suntem conștienți de rezultatul evenimentului B. Acest lucru este deosebit de util deoarece informațiile despre rezultatul unui experiment sunt adesea necunoscute.

Să înțelegem asta cu un exemplu:

• Avem un eveniment A în care presupunem că o persoană care a aplicat la o universitate va fi acceptată. Probabilitatea ca ei să fie acceptați este de 70%.
• Mai avem un eveniment B în care există o șansă de 50% ca studenților acceptați să li se atribuie locuințe în cămin.

Prin urmare, calculăm probabilitatea condiționată ca:

Probabilitate (elevii acceptați și căminul alocat) = P (căminul alocat | Elevii acceptați) × P (elevii acceptați)

= (0,50)*(0,70) = 0,35

Cu probabilitate condiționată, ne uităm la ambele evenimente A și B, relația lor unul cu celălalt în care un student este acceptat la universitate și i se atribuie o locuință de cămin.

În schimb, probabilitatea necondiționată este definită ca măsura probabilității ca un eveniment să se producă, indiferent dacă este precedat de un alt eveniment sau are alte condiții date.

Aplicații în viața reală ale probabilității condiționate

Probabilitatea condiționată găsește o utilizare extinsă în diferite domenii, cum ar fi asigurări și calcul. Este aplicabil și în politică. Să presupunem că există o realegere așteptată a unui președinte. Rezultatele vor depinde de preferințele celor eligibili să voteze și de probabilitatea rezultatului campaniilor de publicitate televizată.

Într-un alt exemplu, să presupunem că probabilitatea de ploaie în zona dvs. este de 40%, așa cum este specificat de vreme. Cu toate acestea, acest rezultat depinde în mare măsură de:

• Dacă se formează nori în zona dvs
• Fie că există posibilitatea ca un front rece să sosească în zona dumneavoastră
• Fie că norii sunt împinși de un alt front

Probabilitatea condiționată va depinde de fiecare dintre evenimentele de mai sus.

Teorema lui Bayes

Introdusă de matematicianul Thomas Bayes, teorema lui Bayes sau regula lui Bayes sau legea lui Bayes este o ecuație matematică care ajută la calcularea probabilității condiționate. Folosind teorema lui Bayes, putem revizui (actualiza) măsurile de probabilitate existente atunci când ies la lumină noi dovezi sau informații suplimentare.

Teorema lui Bayes găsește o utilizare în finanțe, unde contabilii o folosesc pentru a determina riscul de a împrumuta bani unui împrumutat. În plus, este util și în statistică și în logica inductivă.

Statistica bayesiană se bazează pe teorema lui Bayes, unde este posibil să se prezică evenimente pe baza unor noi dovezi, conducând astfel la estimări mai dinamice și mai precise.

Alăturați-vă Cursului de învățare automată online de la cele mai bune universități din lume – Master, Programe Executive Postuniversitare și Program de Certificat Avansat în ML și AI pentru a vă accelera cariera.

Exemplu de probabilitate condiționată cu Python

În acest exemplu, vom folosi probabilitatea condiționată pentru a determina probabilitatea ca un elev să obțină o notă A (80%+) la Fizică, cu condiția să sară peste minimum 10 clase.

Pentru început, inspectați setul de date pe care îl descărcați de la kaggle :

importa panda ca pd

df = pd.read_csv('student-alcohol-consumption/student-mat.csv')

df.head(3)

Parcurgeți numărul de înregistrări:

len(df)

# => 395

Vom lua în considerare doar următoarele coloane: numărul de absențe și notele finale.

Acum, creați o nouă coloană booleană grade_A pentru a arăta dacă scorul final al unui student este de 80% sau mai mare.

Înmulțiți cu 5:

df['grade_A'] = np.where(df['G3']*5 >= 80, 1, 0)

Creați o nouă coloană booleană high_absenses cu valoarea 1 care desemnează studenții care au lipsit la minimum 10 clase.

df['high_absenses'] = np.where(df['high_absenses'] >= 10, 1, 0)

Creați o altă coloană, astfel încât să putem construi cu ușurință un tabel pivot:

df['număr'] = 1

Eliminați toate celelalte coloane:

df = df[['grade_A','high_absenses','count']]

df.head()

Construirea unui tabel pivot:

pd.pivot_table(

df,

values='număr',

index=['grade_A'],

coloane=['high_absenses'],

aggfunc=np.size,

umplere_valoare=0

)

Acum putem trece la calculul nostru:

• P(A) denotă probabilitatea ca un elev să obțină nota A (80% sau mai mare).
• P(B) este probabilitatea ca un elev să fi ratat cel puțin 10 ore.
• P(A|B) este probabilitatea ca un elev să fi obținut o notă de 80%+, având în vedere că a lipsit la minimum 10 ore.

P(A) = (35 + 5) / (35 + 5 + 277 + 78) = 0,10126...

P(B) = (78 + 5) / (35 + 5 + 277 + 78) = 0,21012...

P(A ∩ B) = 5 / (35 + 5 + 277 + 78) = 0,0126582...

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 0,06

Conform calculelor noastre, probabilitatea ca un elev să fi obținut o notă de peste 80%, având în vedere că a lipsit la minimum 10 ore este de cel puțin 6%.

Probabilitatea condiționată a evenimentelor independente

Avem și evenimente, să spunem A și B, unde ambele sunt evenimente independente, ceea ce înseamnă că apariția evenimentului A nu are nicio legătură cu apariția evenimentului B.

Într-un astfel de caz, probabilitatea condiționată P(B|A) este în esență P(B).

P(B|A)= P(B)

În mod similar, probabilitatea condiționată P(A|B) este în esență P(A).

P(A|B)= P(A)

Probabilitatea condiționată a evenimentelor care se exclud reciproc

Conform teoriei probabilităților, atunci când vorbim despre evenimente care nu pot avea loc în același timp, vorbim despre excluderea reciprocă. Pentru a spune simplu, dacă evenimentul A a avut loc, evenimentul B nu poate avea loc simultan. Prin urmare, în astfel de cazuri, probabilitatea este întotdeauna zero.

P(B|A)= 0 și P(A|B)= 0

Legea Probabilității Totale

Folosim regula înmulțirii pentru a determina probabilitatea cazurilor complexe.

Conform regulii înmulțirii, calculăm probabilitatea evenimentelor, E și F, ambele fiind evenimente de observare, prin înmulțirea probabilității de observare a evenimentului F și a evenimentului de observare E, având în vedere că evenimentul F a fost deja observat.

P( E1 ⋂ E2 ⋂….. ⋂En)=P( E1) P(E2 | E1)………P(En | E1…………En-1)

Acum, să presupunem că avem un spațiu eșantion S care cuprinde trei evenimente disjunse X, Y, Z. Prin urmare ,

P(A)=P(A ⋂ X) +P(A ⋂ Y) +P(A ⋂ Z)

Acum, conform regulii înmulțirii, legea probabilității totale poate fi exprimată ca

P(A)= P(A|X) P(X) +P(A|Y) P(Y) +P(A|Z) P(Z)

Concluzie

Înțelegerea probabilității condiționate este necesară pentru a stăpâni estimări de probabilitate complexe care sunt efectuate folosind teorema lui Bayes. Dacă doriți să aflați în profunzime despre probabilitatea condiționată și teorema lui Bayes, vă recomandăm să vă alăturați programului nostru de certificare avansată IIT în învățarea automată .

Platforma upGrad de peste 40.000 oferă oportunități de colaborare peer-to-peer și asistență la 360° pentru locuri de muncă la firme de top. Cu pregătire riguroasă prin proiecte practice, studii de caz, prelegeri live, studenții pot stăpâni conceptele complicate de probabilitate și le pot folosi pentru a implementa modele de învățare automată.

Conduceți revoluția tehnologică condusă de inteligență artificială. Aplica acum!