Formula de progresie aritmetică: tot ce trebuie să știți

Introducere

O progresie aritmetică este o secvență în care următorul termen din șir se obține prin adăugarea unei constante la fiecare termen. Constanta adăugată se numește diferența comună. Este o secvență astfel încât diferența dintre oricare doi termeni consecutivi din secvență este întotdeauna o constantă.

Să presupunem că n 1 , n 2 , n 3 ……..n n sunt

termenii unei secvenţe de progresie aritmetică.

Apoi, n 2 = n 1 + d, n 3 = n 2 + d și așa mai departe.

Unde n 1 = primul termen și d este diferența comună

Exemple de progresie aritmetică

Verificați dacă următoarea secvență 3, 6, 9, 12, 15 este o progresie aritmetică sau nu.
Pentru ca această secvență să fie o secvență de progresie aritmetică, diferența comună dintre termenii consecutivi ar trebui să fie constantă.

Diferența comună (d) = n 2 – n 1 trebuie să fie egală cu n 3 – n 2 și așa mai departe.

În această secvență, d = 6 – 3 = 3, 9 – 6 = 3, 12 – 9 = 3 și 15 – 12 = 3.

Diferența dintre termenii consecutivi este constantă. Prin urmare, succesiunea de mai sus este o progresie aritmetică.

Citiți și: Rezolvați probleme folosind RNN

Formula de progresie aritmetică

Pentru a înțelege formula de progresie aritmetică , trebuie să fiți familiarizați cu terminologiile utilizate în formulă.

Primul termen

După cum spune și numele, primul termen este primul termen al secvenței, care este de obicei reprezentat prin n 1 . De exemplu, în secvența 5, 12, 19, 26, 33, primul termen este 5.

Diferența comună

O diferență comună este numărul fix care se adună sau se scade între doi termeni consecutivi (cu excepția primului termen) în progresia aritmetică. Este notat cu „d”.

De exemplu, dacă n 1 este primul termen, atunci:

n 2 = n 1 + d

n 3 = n 2 + d și așa mai departe

Formula de progresie aritmetică pentru a găsi termenul general sau al n - lea termen

Termenul general sau al n - lea termen dintr-o progresie aritmetică se găsește prin:

N n = a + (n-1) *d

unde „a” este primul termen și „d” este o diferență comună.

Deci, primul termen, N 1 = a + (1-1) *d

al 2 -lea termen, N 2 = a + (2-1) *d

al 3 -lea termen, N 3 = a + (3-1) *d

Prin calculul „n” termeni în formula de mai sus, obținem forma generală a unei progresii aritmetice.

a, a + d, a + 2d, a + 3d, …… a + (n-1) *d

Formula de progresie aritmetică pentru a găsi suma

Formula de progresie aritmetică pentru suma „n” termeni unde „a” este primul termen și „d” este o diferență comună este următoarea.

Când al n-lea termen este necunoscut:

S n = (n/2) * [2a + (n − 1) * d]

Când al n-lea termen este cunoscut:

Sn = (n/2) * [a 1 + a n ]

Derivarea formulei

Să presupunem că „t” este al n-lea termen al seriei și S n este suma primilor n termeni dintr-o progresie aritmetică: a, (a + d), (a + 2d), …., a + (n). – 1) * d.

Apoi,

Sn = a 1 + a 2 + a 3 + ….a n -1 + a n

Înlocuind termenii din formula de mai sus, obținem

S n = a + (a + d) + (a + 2d) + …….. + (t – 2d) + (t – d) + t …(1)

După ce se scrie ecuația (1) în ordine inversă

S n =t + (t – d) + (t – 2d) + …….. + (a + 2d) + (a + d) + a …(2)

Acum, adăugăm ecuația (1) și (2), obținem

2S n = (a + t) + (a + t) + (a + t) + …….. + (a + t) + (a + t) + (a + t)

2S n = n * (a + t)

S n = (n/2) * (a + t) …(3)

Să înlocuim ultimul termen „t” cu al n-lea termen din ecuația 3, obținem,

al n - lea termen = a + (n – 1) * d

S n = (n/2) * {a + a + (n – 1) * d}

S n = (n/2) * {2a + (n – 1) * d}

Exemplu

Dacă vi se cere să găsiți suma primilor 30 de termeni ai unei secvențe 5, 11, 17, 23, ……

Soluţie:

a = 5, d = a 2 – a 1 = 11 – 5 = 6

S n = (n/2) * {2a + (n – 1) * d}

S n = (30/2) * (2 * 5 + (35 – 1) * 6}

S n = (15) * (10 + 204)

S n = 15 * 214

Sn = 3210

Concluzie

În matematică, o progresie aritmetică este o serie de numere în care diferența dintre doi termeni consecutivi este întotdeauna constantă. Putem găsi mai multe exemple de progresie aritmetică în viața noastră de zi cu zi. De exemplu, numărul de înscrieri al studenților într-un lot, lunile dintr-un an etc.

Astăzi, ne aflăm în pragul unei revoluții medicale, totul datorită învățării automate și inteligenței artificiale. Cu toate acestea, utilizarea numai a tehnologiei nu va îmbunătăți asistența medicală. De asemenea, trebuie să existe minți curioase și dedicate care să poată da sens unor astfel de inovații tehnologice strălucitoare precum învățarea automată și AI.

Învață cursul ML de la cele mai bune universități din lume. Câștigă programe de master, Executive PGP sau Advanced Certificate pentru a-ți accelera cariera.