Distribuição de Poisson e Processo de Poisson explicados [com exemplos]

A distribuição de Poisson é um tópico da teoria da probabilidade e estatística popularmente usado por empresas e no mercado comercial. É usado para prever a quantidade de variação de uma determinada taxa média de ocorrência dentro de um período de tempo. Isso é explicado em detalhes nas seções a seguir.

Processo de Poisson

O processo de Poisson é um processo estocástico amplamente utilizado para modelar a série de eventos discretos que ocorrem quando a média dos eventos é conhecida, mas os eventos acontecem aleatoriamente. Como os eventos estão acontecendo aleatoriamente, eles podem ocorrer um após o outro, ou pode ser um longo tempo entre dois eventos.

O tempo médio dos eventos é apenas constante. Assim, por exemplo, se é sabido que em uma determinada cidade, um terremoto ocorre em média quatro vezes por ano; isso pode significar que quatro terremotos podem ocorrer em quatro dias consecutivos em um ano, ou o tempo entre dois dos terremotos pode ser de sete meses.

Este é o processo de Poisson, e a probabilidade de cada evento pode ser calculada.

É importante que um processo de Poisson atenda aos seguintes critérios:

• Os eventos devem ser independentes uns dos outros. Assim, a ocorrência de um evento não deve afetar a probabilidade de outro evento ocorrer.

• A taxa média dos eventos, ou seja, os eventos por período de tempo são constantes.

• Dois eventos não devem ocorrer ao mesmo tempo.

Leia: Distribuição de probabilidade

Distribuição de veneno

Nomeada em homenagem ao matemático francês Simeon Denis Poisson, a distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta usada para prever a probabilidade de eventos particulares ocorrerem quando a taxa média do evento é conhecida. No exemplo acima, a distribuição de Poisson pode ser usada para prever a probabilidade de um terremoto ocorrer em um determinado momento do ano.

Também pode ser usado para prever a ocorrência do evento em vários outros intervalos especificados, como área, volume ou distância.

A função de massa de probabilidade de distribuição de Poisson fornece a probabilidade de observar k eventos em um período de tempo quando a duração do período e a média de eventos por tempo são fornecidas. A fórmula é a seguinte:

P (k eventos no intervalo) = e-λ * λk/k!

Aqui λ, lambda, é o parâmetro de taxa, k é o número de vezes que um evento ocorre durante o período de tempo, e é o número de Euler e k! é o fatorial de k.

Usando um exemplo simples, podemos ver como a probabilidade pode ser calculada. Se o número médio de terremotos que atingem uma cidade é de 2 por ano, vamos calcular a probabilidade de 3 terremotos atingirem a cidade no próximo ano.

Aqui, k é 3, λ é 2 e e é o número de Euler, ou seja, 2,71828. Colocando esses valores na equação acima, obtemos P igual a 0,180. Isso significa que a probabilidade é de 18%. Podemos concluir que a probabilidade de a cidade ser atingida por 3 terremotos no ano que vem é de 18%.

Propriedades da distribuição de Poisson

• A média de uma variável aleatória distribuída de Poisson é λ. Este também é o valor esperado.
• A variância de uma variável aleatória distribuída de Poisson também é a mesma que a média, λ.
• O número de tentativas em uma distribuição de Poisson pode ser extremamente grande. Assim, pode estar perto do infinito.
• A probabilidade constante de sucesso em cada tentativa é mínima. Assim, é próximo de zero.
• Como a distribuição de Poisson é caracterizada por apenas um parâmetro λ, ela também é conhecida como distribuição uniparamétrica.
• Semelhante à distribuição binomial, a distribuição de Poisson pode ser unimodal ou bimodal, dependendo do parâmetro de taxa, λ. Se for um não inteiro, a distribuição será unimodal e, se for um inteiro, será bimodal.

Exemplos de distribuição de Poisson

Existem muitos setores onde a distribuição de Poisson pode ser usada para prever as probabilidades de um evento. É usado em muitos campos científicos e também é popular no setor empresarial. Alguns dos exemplos são apresentados a seguir.

1. Verificar a quantidade de um produto necessária ao longo de um ano. Se uma empresa/supermercado/loja conhece a quantidade média de produtos usados ​​em um ano por seus clientes, eles podem usar o modelo de distribuição de Poisson para prever em qual mês o produto vende mais. Isso pode ajudá-los a armazenar a quantidade necessária do produto e evitar suas perdas.

2. Verificando a equipe de atendimento ao cliente. Se a empresa puder calcular o número médio de chamadas em um dia que precisam de mais de quinze minutos para serem atendidas, ela pode usar o modelo para prever o número máximo de chamadas por hora que exigem mais de quinze minutos. Ao calcular isso, eles podem avaliar se precisam de mais funcionários.

3. Pode ser usado para prever a probabilidade de ocorrência de inundações, tempestades e outros desastres naturais. Isso pode ser possível se o número médio de tais desastres por ano for conhecido. Com essas previsões, juntamente com outras aplicações tecnológicas, é possível evitar perdas humanas e patrimoniais para muitos países ou regiões.

4. Também pode ser usado nos setores financeiros, mas nem sempre são precisos. Isso pode ajudar a fornecer uma estimativa da probabilidade de como os mercados de ações subirão ou cairão em um determinado momento.

5. O modelo de distribuição de Poisson também pode ser usado em física, biologia, astronomia, etc. para prever a probabilidade de meteoritos entrarem na atmosfera da Terra e serem visíveis em determinadas regiões do mundo.

Conclusão

Um tópico popular em estatística, a distribuição de Poisson foi minuciosamente explicada em diferentes seções deste artigo. É um tópico importante para estudantes e profissionais interessados ​​em aprender sobre estatística e probabilidade.

O modelo pode ser usado na vida real e em vários assuntos como física, biologia, astronomia, negócios, finanças etc., para estimar a probabilidade de um evento ocorrer conforme mencionado nos exemplos. Tópicos semelhantes em estatística, ciência de dados, aprendizado de máquina etc. podem ser encontrados no upGrad, o que ajudará a expandir seu aprendizado e aplicar esses conceitos a vários problemas.

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