Permutação vs Combinação: Diferença entre Permutação e Combinação

Combinatória – o campo da matemática que lida com contagem, arranjos, permutações e combinações – é frequentemente uma das áreas mais confusas. No entanto, forma a base de todo o domínio da Probabilidade e, eventualmente, desempenha um papel crucial no Aprendizado de Máquina e na Inteligência Artificial. Por esses motivos, Permutações e Combinações é um tópico que precisa ser dominado antes de prosseguir.

Uma das principais confusões que atuam como um obstáculo é a diferença entre permutações e combinações. Por esse motivo, examinaremos detalhadamente as principais definições e recursos de Permutações e Combinações. Isso explicará como esses dois termos diferem e qual deles deve ser aplicado em qual cenário.

Vamos começar!

O que são permutações e combinações - as diferenças entre elas

Vamos tentar entender esses termos cruciais usando alguns exemplos. Suponha que você queira pedir uma salada para o almoço. Sua salada preferida pode ser uma mistura de tomate, cenoura, rabanete e beterraba. Agora, você não se importa com a ordem em que esses vegetais individuais são adicionados à sua salada, desde que todos estejam lá. Tudo o que importa é ter todos os vegetais necessários em sua saladeira. A salada pode consistir em “tomate, cenoura, rabanete e beterraba” ou “tomate, cenoura, beterraba e rabanete”. Ambos os cenários serão ideais para você – como consumidor de saladas.

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Começando com Permutação

Agora, vamos mudar um pouco o exemplo e pensar na senha do seu cartão de débito. Se o seu PIN for 7986, é um conjunto de dígitos 7, 8, 9 e 6. No entanto, neste caso, nem todos os arranjos desses dígitos serão seu PIN. É apenas uma sequência específica – 7896 – que é o seu PIN. Neste caso, a ordem é essencial.

As permutações são exatamente como os detalhes do seu PIN – a ordem é extremamente importante. Detalhes são importantes para permutações. Para uma permutação, 6/8/9 é totalmente diferente de 9/6/8, que é diferente de 8/6/9 e assim por diante. Para permutações, portanto, a ordem das entidades deve ser preservada a todo custo.

Portanto, para defini-lo em um sentido um pouco mais técnico – a permutação é um processo de seleção de diferentes itens em que a ordem da seleção é importante. Pode ser descrito como o número de maneiras de organizar alguns ou todos os itens de um determinado conjunto.

Por exemplo, considere um conjunto – {a, b, c}. Neste, todas as permutações dos elementos são as seguintes:

• abc
• acb
• costas
• bca
• táxi
• cba

Casos Especiais de Permutações

Existem dois casos especiais de Permutações que você deve ter em mente:

1. Com Repetição

Permutações para 'k' de algo do total de 'n' tipos diferentes podem ser consideradas n*n*n*…k vezes.

A razão para isso é simples – quando uma coisa tem n tipos diferentes... você tem 'n' número de escolhas a cada vez.

Por exemplo: escolhendo 3 dessas coisas, as permutações são:

n × n × n

(n multiplicado por 3 vezes)

Mais geralmente: escolhendo 'n' de algo que tem 'k' tipos diferentes, as permutações são:

n × n × … (k vezes)

2. Sem Repetição

Sem Repetição, as escolhas não permanecerão 'n' cada vez. Em vez disso, os valores continuam diminuindo a cada escolha que você faz. Aqui está um exemplo para entender isso melhor:

Tente pensar no número de mãos diferentes de 4 cartas feitas a partir de um baralho de cartas?

Agora, para o primeiro cartão, você tem a opção de selecionar qualquer um dos 52 cartões. Então, você tem 52 opções. Depois de fazer sua primeira escolha, você não pode pegar a mesma carta novamente, então as escolhas para o próximo slot se tornam 51. Da mesma forma, cada próxima compra resultará em menos escolhas suas do que antes. Esta fórmula pode ser generalizada como:

Para generalizar isso, a fórmula para as diferentes permutações de 'k' objetos diferentes de um grupo de 'n' objetos diferentes pode ser dada como:

P(n,k) = nPk = n! / (n−k)!

Onde nPk é o número de permutações de 'k' objetos diferentes de um conjunto de 'n' objetos diferentes, en! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*…. .

Passando de Permutações – agora para Combinações

Uma Combinação pode ser entendida como uma técnica para determinar o número de diferentes arranjos possíveis em um conjunto de diferentes elementos – onde a ordem de seleção não é relevante. Em combinação, você pode selecionar os itens em qualquer ordem – lembre-se de nosso exemplo anterior de sua tigela de salada.

Portanto, a combinação é simplesmente a maneira de selecionar diferentes itens de uma coleção em massa, de modo que a ordem não seja importante. Para entender isso melhor, veja o seguinte exemplo:

Suponha que temos três dígitos – 1, 2, 3 – e queremos fazer um número de três dígitos. Os números possíveis são 123, 213, 132, 231, 312 e 321. Usando combinações, podemos encontrar o número de maneiras pelas quais 1, 2, 3 podem ser colocados em uma determinada ordem com mais facilidade. Uma combinação é a seleção de k coisas de uma coleção de n coisas sem qualquer substituição e pode ser escrita matematicamente da seguinte maneira:

C(n,k) = nCk = n! /k! * (n−k)!

Vamos entender melhor essa fórmula usando um exemplo. Tente descobrir quantas maneiras um treinador pode escolher três nadadores de um grupo de 6 nadadores.

Usando a fórmula:

nCk = n! /k! * (n−k)!

Em nossa questão, o valor de n é 6, e o valor de k é 3. Mantendo isso na fórmula, obtemos:

C(6,3) = 6! / 3!*2! = 60 => O treinador pode escolher 3 nadadores de um conjunto de 6 nadadores de 60 maneiras diferentes.

Alguns exemplos comuns de permutações e combinações

Vejamos alguns exemplos do dia a dia para ajudar você a entender melhor as diferenças entre permutações e combinações. Por meio desses exemplos, você poderá identificar facilmente as diferenças entre essas duas técnicas.

1. Permutações

• Organizar diferentes pessoas, números, alfabetos, dígitos, vegetais ou cores.
• Selecionando um capitão de equipe de uma equipe de 11 jogadores.
• Escolher três cores favoritas de várias cores diferentes.
• Selecionando primeiro, segundo e terceiro vencedores.

2. Combinações

• Selecionar o menu de comida, roupas de uma lista, assuntos para cursos, etc.
• Escolher diferentes números de pessoas de um grupo de pessoas.
• Escolher duas cores de um livro de cores.
• Escolhendo apenas quatro vencedores.

Relação entre Permutação e Combinação

Permutações e Combinações referem-se essencialmente às diferentes formas pelas quais os objetos de um conjunto podem ser selecionados – com ou sem Repetição – para formar novos sujeitos. Portanto, ambos os conceitos podem ser entendidos como a contagem do número de subconjuntos para um determinado conjunto. Essa seleção de subconjuntos é chamada de permutação quando a ordem de seleção é importante e de combinação quando a ordem não é tão importante.

Em um sentido mais matemático, a permutação e a combinação estão intimamente relacionadas entre si. A combinação é simplesmente a contagem de diferentes seleções que podem ser feitas a partir de n objetos. Por outro lado, a permutação está contando o número de arranjos diferentes de n objetos.

Se você observar atentamente as duas fórmulas abaixo de Permutação e Combinação, poderá derivar uma relação matemática entre as duas por conta própria. Confira:

• nPr = n!/(nr)!
• nCr = n!/[r! (nº)!]

=> nPr = nCr / r!

=> nCr = r! * NPR

A equação mencionada acima é a relação matemática entre permutação e combinação.

Diferença entre Permutação e Combinação

Aqui está uma tabela que tornará as diferenças básicas entre permutação e combinação mais fáceis de entender.

Vamos entender a diferença entre permutação e combinação com exemplos para dar uma ideia de como as usamos na vida real.

• Formando uma equipe para um jogo: Muitas vezes usamos combinações para determinar quantas equipes possíveis podem ser formadas a partir de um grande grupo de jogadores para garantir uma distribuição justa.
• Arranjos de assentos para um evento: você pode usar a fórmula de permutação para determinar o número de arranjos de assentos possíveis para eventos formais ou planos oficiais de assentos.
• Combinação ao formar comitês: Você pode aplicar combinações para descobrir a possibilidade de formar um comitê selecionando alguns indivíduos de um grupo maior.
• Criando uma senha: também podemos usar permutações para calcular o número de senhas possíveis que podem ser formadas usando um determinado conjunto de números, símbolos e alfabetos.

Pontos para lembrar

• A combinação é o número de maneiras pelas quais você pode selecionar um subconjunto de objetos de um conjunto maior sem levar em consideração a ordem. Enquanto a permutação é o número diferente de maneiras pelas quais você pode organizar um conjunto de objetos em uma ordem específica.
• Se os valores n e k forem iguais, o número de permutações sempre excederá o número de combinações.
• Como a ordem não importa ao calcular as combinações, o resultado da escolha dos mesmos k objetos de um conjunto de n elementos será sempre o mesmo.
• Como a ordem é essencial na permutação, mesmo que você escolha os mesmos k objetos de um conjunto de n objetos, o resultado será diferente dependendo da ordem de seleção.

Para concluir

Com isso, chegamos ao final deste blog post sobre as diferenças entre Permutação e Combinação. Tenha em mente que o campo da Combinatória é excepcionalmente vasto e estabelece a base de muitos outros campos vitais da matemática – especialmente quando se trata de campos aplicativos como Probabilidade ou Aprendizado de Máquina. O que discutimos no artigo são apenas as diferenças fundamentais entre Permutação e Combinação. No entanto, com esse conhecimento ao seu lado, você pode facilmente resolver todas as confusões que geralmente os alunos enfrentam ao resolver problemas em torno do PnC.

Se você entendeu tudo neste artigo, recomendamos que se aprofunde e se familiarize com outras nuances da combinatória. Se você não entendeu muito bem o artigo – tire suas dúvidas nos comentários abaixo.

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