Fórmula de progressão aritmética: tudo o que você precisa saber

Introdução

Uma progressão aritmética é uma sequência na qual o próximo termo da sequência é obtido pela adição de uma constante a cada termo. A constante adicionada é chamada de diferença comum. É uma sequência tal que a diferença entre quaisquer dois termos consecutivos na sequência é sempre uma constante.

Suponha que n 1 , n 2 , n 3 ……..n n são os

termos de uma sequência de progressão aritmética.

Então, n 2 = n 1 + d, n 3 = n 2 + d e assim por diante.

Onde n 1 = o primeiro termo e d é a diferença comum

Exemplos de progressão aritmética

Verifique se a seguinte sequência 3, 6, 9, 12, 15 é uma progressão aritmética ou não.
Para que esta sequência seja uma sequência de progressão aritmética, a diferença comum entre os termos consecutivos deve ser constante.

Diferença comum (d) = n 2 – n 1 deve ser igual a n 3 – n 2 e assim por diante.

Nesta sequência, d = 6 – 3 = 3, 9 – 6 = 3, 12 – 9 = 3 e 15 – 12 = 3.

A diferença entre termos consecutivos é constante. Portanto, a sequência acima é uma progressão aritmética.

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Fórmula de progressão aritmética

Para entender a fórmula da progressão aritmética , deve-se estar familiarizado com as terminologias usadas na fórmula.

Primeiro termo

Como o nome indica, o primeiro termo é o primeiro termo da sequência, que geralmente é representado por n 1 . Por exemplo, na sequência 5, 12, 19, 26, 33, o primeiro termo é 5.

Diferença comum

Uma diferença comum é o número fixo que é adicionado ou subtraído entre dois termos consecutivos (exceto o primeiro termo) na progressão aritmética. É denotado por 'd'.

Por exemplo, se n 1 é o primeiro termo, então:

n 2 = n 1 + d

n 3 = n 2 + d e assim por diante

Fórmula de progressão aritmética para encontrar o termo geral ou o enésimo termo

O termo geral ou enésimo termo em uma progressão aritmética é encontrado por:

N n = a + (n-1) *d

onde 'a' é o primeiro termo e 'd' é uma diferença comum.

Então, 1º termo, N 1 = a + (1-1) *d

2º termo , N 2 = a + (2-1) *d

3º termo , N 3 = a + (3-1) *d

Ao calcular 'n' termos na fórmula acima, obtemos a forma geral de uma progressão aritmética.

a, a + d, a + 2d, a + 3d, …… a + (n-1) *d

Fórmula de progressão aritmética para encontrar a soma

A fórmula de progressão aritmética para a soma de 'n' termos onde 'a' é o primeiro termo e 'd' é uma diferença comum é a seguinte.

Quando o enésimo termo é desconhecido:

S n = (n/2) * [2a + (n − 1) * d]

Quando o enésimo termo é conhecido:

Sn = (n/2) * [a 1 + a n ]

Derivação da fórmula

Vamos supor que 't' seja o enésimo termo da série e S n seja a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética: a, (a + d), (a + 2d), …., a + (n – 1) * d.

Então,

Sn = a 1 + a 2 + a 3 + ….a n -1 + a n

Substituindo os termos na fórmula acima, temos

S n = a + (a + d) + (a + 2d) + …….. + (t – 2d) + (t – d) + t …(1)

Depois de escrever a equação (1) na ordem inversa

S n =t + (t – d) + (t – 2d) + …….. + (a + 2d) + (a + d) + a …(2)

Agora, somando as equações (1) e (2), obtemos

2S n = (a + t) + (a + t) + (a + t) + …….. + (a + t) + (a + t) + (a + t)

2S n = n * (a + t)

S n = (n/2) * (a + t) …(3)

Vamos substituir o último termo 't' pelo enésimo termo na equação 3, temos,

nº termo = a + (n – 1) * d

S n = (n/2) * {a + a + (n – 1) * d}

S n = (n/2) * {2a + (n – 1) * d}

Exemplo

Se você for solicitado a encontrar a soma dos primeiros 30 termos de uma sequência 5, 11, 17, 23, ……

Solução:

a = 5, d = a 2 – a 1 = 11 – 5 = 6

S n = (n/2) * {2a + (n – 1) * d}

S n = (30/2) * (2 * 5 + (35 – 1) * 6}

S n = (15) * (10 + 204)

Sn = 15 * 214

Sn = 3210

Conclusão

Em matemática, uma progressão aritmética é uma série de números onde a diferença entre dois termos consecutivos é sempre constante. Podemos encontrar vários exemplos de progressão aritmética em nossa vida diária. Por exemplo, números de matrícula de alunos em um lote, meses em um ano, etc.

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