Wzór progresji arytmetycznej: wszystko, co musisz wiedzieć

Wstęp

Postęp arytmetyczny to sekwencja, w której następny wyraz w sekwencji uzyskuje się przez dodanie stałej do każdego wyrazu. Dodana stała nazywana jest różnicą wspólną. Jest to ciąg taki, że różnica między dowolnymi dwoma kolejnymi wyrazami w ciągu jest zawsze stała.

Załóżmy, że n 1 , n 2 , n 3 ……..n n to

warunki ciągu arytmetycznego.

Następnie n 2 = n 1 + d, n 3 = n 2 + d i tak dalej.

Gdzie n 1 = pierwszy wyraz, a d jest wspólną różnicą

Przykłady progresji arytmetycznej

Sprawdź, czy następująca sekwencja 3, 6, 9, 12, 15 jest postępem arytmetycznym, czy nie.
Aby ta sekwencja była ciągiem arytmetycznym, wspólna różnica między kolejnymi wyrazami powinna być stała.

Wspólna różnica (d) = n 2 – n 1 musi być równe n 3 – n 2 i tak dalej.

W tej kolejności d = 6 – 3 = 3, 9 – 6 = 3, 12 – 9 = 3 i 15 – 12 = 3.

Różnica między kolejnymi wyrazami jest stała. Stąd powyższa sekwencja jest postępem arytmetycznym.

Przeczytaj także: Rozwiązywanie problemów za pomocą RNN

Formuła progresji arytmetycznej

Aby zrozumieć formułę progresji arytmetycznej , należy zapoznać się z terminologią używaną w formule.

Pierwszy warunek

Jak sama nazwa wskazuje, pierwszy wyraz jest pierwszym wyrazem ciągu, który zwykle jest reprezentowany przez n 1 . Na przykład w sekwencji 5, 12, 19, 26, 33 pierwszy termin to 5.

Wspólna różnica

Powszechną różnicą jest stała liczba, która jest dodawana lub odejmowana między dwoma kolejnymi składnikami (z wyjątkiem pierwszego) w postępie arytmetycznym. Jest oznaczony przez „d”.

Na przykład, jeśli n 1 jest pierwszym wyrazem, to:

n 2 = n 1 + d

n 3 = n 2 + d i tak dalej

Formuła progresji arytmetycznej do znalezienia terminu ogólnego lub n- tego terminu

Termin ogólny lub termin n- ty w ciągu arytmetycznym znajduje się przez:

N n = a + (n-1) *d

gdzie „a” jest pierwszym terminem, a „d” jest wspólną różnicą.

Tak więc pierwszy termin, N 1 = a + (1-1) * d

II termin , N 2 = a + (2-1) *d

III termin, N 3 = a + (3-1) *d

Obliczając 'n' wyrazów w powyższym wzorze, otrzymujemy ogólną postać ciągu arytmetycznego.

a, a + d, a + 2d, a + 3d, …… a + (n-1) *d

Formuła progresji arytmetycznej do znajdowania sumy

Wzór progresji arytmetycznej dla sumy terminów „n”, gdzie „a” jest pierwszym terminem, a „d” jest wspólną różnicą, jest następujący.

Gdy n-ty termin jest nieznany:

S n = (n/2) * [2a + (n − 1) * d]

Kiedy n-ty termin jest znany:

Sn = (n/2) * [a 1 + a n ]

Wyprowadzanie formuł

Załóżmy, że 't' jest n-tym wyrazem szeregu, a S n jest sumą pierwszych n wyrazów w ciągu arytmetycznym: a, (a + d), (a + 2d), …., a + (n – 1) * re.

Następnie,

Sn = a 1 + a 2 + a 3 + ….a n -1 + a n

Zastępując terminy w powyższym wzorze otrzymujemy

S n = a + (a + d) + (a + 2d) + …….. + (t – 2d) + (t – d) + t …(1)

Po zapisaniu równania (1) w odwrotnej kolejności

S n = t + (t – d) + (t – 2d) + …….. + (a + 2d) + (a + d) + a …(2)

Teraz dodaj równania (1) i (2), otrzymujemy

2S n = (a + t) + (a + t) + (a + t) + …….. + (a + t) + (a + t) + (a + t)

2S n = n * (a + t)

S n = (n/2) * (a + t) …(3)

Zamieńmy ostatni wyraz 't' na n-ty wyraz w równaniu 3, otrzymamy,

n - ty wyraz = a + (n – 1) * d

S n = (n/2) * {a + a + (n – 1) * d}

S n = (n/2) * {2a + (n – 1) * d}

Przykład

Jeśli zostaniesz poproszony o znalezienie sumy pierwszych 30 wyrazów ciągu 5, 11, 17, 23, ……

Rozwiązanie:

a = 5, d = a 2 – a 1 = 11 – 5 = 6

S n = (n/2) * {2a + (n – 1) * d}

S n = (30/2) * (2 * 5 + (35 – 1) * 6}

S n = (15) * (10 + 204)

S n = 15 * 214

Sn = 3210

Wniosek

W matematyce postęp arytmetyczny to ciąg liczb, w którym różnica między dwoma kolejnymi wyrazami jest zawsze stała. W naszym codziennym życiu możemy znaleźć wiele przykładów postępu arytmetycznego. Na przykład liczba zapisów uczniów w grupie, miesiące w roku itp.

Dziś stoimy na krawędzi medycznej rewolucji, a wszystko to dzięki uczeniu maszynowemu i sztucznej inteligencji. Jednak samo korzystanie z technologii nie poprawi opieki zdrowotnej. Potrzebne są również ciekawskie i oddane umysły, które potrafią nadać znaczenie tak genialnym innowacjom technologicznym, jak uczenie maszynowe i sztuczna inteligencja.

Ucz się kursu ML z najlepszych światowych uniwersytetów. Zdobywaj programy Masters, Executive PGP lub Advanced Certificate Programy, aby przyspieszyć swoją karierę.