확률 밀도 함수 소개 [공식, 속성, 응용, 예]

확률 밀도 함수(PDF)는 이산 확률 변수의 확률 분포를 나타내는 통계 표현입니다. 확률 분포는 간단한 용어로 주식이나 ETF와 같은 무작위 변수의 결과의 가능성으로 정의할 수 있습니다. 이산 변수는 정확한 값을 결정할 수 있는 연속 확률 변수와 대조적으로 발생합니다.

예를 들어 주식 시장에서 스크립의 값은 소수의 소수점 이하 자릿수(예: 65.7685434567)가 있는 연속 변수 대신 이산 확률 변수에서 소수점 두 개(예: 65.76)만 있습니다.

확률 밀도 함수는 이산 확률 변수의 결과 가능성을 결정하는 데 사용되는 통계 도구입니다. 그래프에 그릴 때 PDF는 곡선 아래 영역이 결과의 확률을 나타내는 종형 곡선과 동일하게 보입니다.

그래픽 모델로 투영할 때 곡선 아래 영역은 이산 확률 변수 값이 속하는 범위를 나타냅니다. 따라서 곡선 아래의 총 면적은 변수 결과의 확률과 같습니다.

확률 밀도 함수는 특정 값 범위에 속하는 확률 변수의 가능성을 결정할 수 있습니다.

일반적으로 확률 밀도 함수는 주식 시장의 특정 펀드와 관련된 위험 및 잠재적 수익을 분석합니다.

확률 밀도 함수로 간주되는 함수가 충족해야 하는 조건

이산 변수의 값은 무한한 수의 값을 가질 수 있는 연속 변수와 달리 정확하게 측정할 수 있습니다. 모든 함수는 확률 밀도 함수가 되려면 아래 두 가지 조건을 충족해야 합니다.

• 확률 변수의 각 가능한 값에 대한 f(x) 값은 양수(음수가 아님)여야 합니다.
• 곡선의 전체 면적의 적분 값(임의 변수의 가능한 모든 값의 적분)은 1이어야 합니다.

확률 밀도 함수와 확률 분포 함수의 차이점

확률 변수는 많은 값을 가질 수 있습니다. 확률 변수가 가질 수 있는 각각의 가능한 값에 대한 설명을 확률 분포라고 합니다.

확률 분포는 일련의 결과 및 관련 확률을 제공합니다. 연속 확률 분포를 나타내는 통계 함수를 확률 밀도 함수라고 합니다.

확률 질량 함수라는 이산 확률 분포를 나타내는 또 다른 통계 도구가 있습니다. 이것은 가능한 모든 결과와 그 가능성 확률에 대한 자세한 설명을 제공합니다.

확률 밀도 함수에 대한 표현

확률변수가 이산형이면 확률분포를 확률질량함수라고 하고, 연속형 변수이면 확률분포를 확률밀도함수라고 한다.

PDF는 해당 확률 변수에 가능한 값 범위가 있을 때 사용됩니다. 확률 분포는 정확한 값을 결정하는 데 사용됩니다.

확률 변수를 X로 표시합니다 . 확률 밀도 함수 f는 확률 변수 X로 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

• 확률 변수의 값은 와 b 사이에 있습니다.
• X가 범위(간격) r과 s에서 특정 숫자를 선택할 확률을 나타내는 경우 확률 밀도 함수는 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

f ( x ) = 1/( s − r ) for r < x < s 및 f ( x ) = 0 for x < r 또는 x > s .

• PDF F는 다음과 같이 표시됩니다.

F ( x ) = P { X ≤ x }

이를 분포 함수 또는 X의 누적 분포 함수라고 합니다.

확률 변수 X가 확률 분포 함수 f ( x )를 갖는다 고 가정하면 f와 F 사이의 관계는 다음과 같이 설정할 수 있습니다.

F ′(. x ) = f ( x )

이산 확률 변수의 분포 함수는 확률 분포 함수와 다릅니다. 둘 사이의 관계는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

확률 변수의 기대치는 다음과 같이 표시됩니다.

따라서 모든 이산 및 확률 변수는 결합 이론의 도움으로 균일하게 처리될 수 있습니다.

확률 밀도 함수의 공식

어떤 고정 값 x에 대한 연속 확률 변수 X의 확률은 항상 0입니다. 이 경우 P(X = x)를 사용할 수 없습니다. 값의 범위(a,b) 사이에 있는 X 값을 결정해야 합니다. 동일하게 결정하기 위해 다음 공식이 사용됩니다.

확률 밀도 함수의 속성

예를 들어 범위 (a,b) 사이의 값을 취하는 연속 확률 변수는 곡선 아래의 면적과 (a)를 하한으로, (b)를 하한으로 플롯한 X축을 계산하여 추정됩니다. 상한. 위의 확률 밀도 함수는 다음과 같이 표현됩니다.

확률 밀도 함수는 가능한 모든 값에 대해 양수(음수가 아님)입니다. 이것은 모든 x에 대해 f(x)≥ 0을 의미합니다. 밀도 곡선과 X축(가로축) 사이의 면적은 1입니다.

이것은 다음과 같이 나타낼 수도 있습니다.

밀도 함수 곡선은 일련의 연속 값 또는 변수 영역에 대해 명확하게 정의된 지정된 범위 전체에서 연속적입니다.

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확률 밀도 함수의 응용

• 확률 밀도 함수는 대기 NO 농도 수준의 연간 모델링에 사용됩니다.
• 디젤 엔진 연소 모델링.
• 통계에서 확률 밀도 함수는 확률 변수의 결과 가능성을 결정하는 데 사용됩니다.

확률 밀도 함수의 예

• 실시예 1

다음은 확률 밀도 함수(PDF)가 주식 시장에서 투자자의 잠재적 위험을 결정하는 데 사용되는 방법의 예입니다.

첫째, PDF는 역사적 정보를 기반으로 하는 그래픽 도구로 생성됩니다.

PDF의 가장 일반적인 형태는 위험이 다양한 가능성에 대한 보상과 동일한 중립적 예측입니다. 위험 감수 능력이 낮은 투자자는 제한된 이익만 얻을 수 있으므로 종형 곡선의 왼쪽 아래에 있게 됩니다. 반대로, 높은 위험 감수 능력을 가진 투자자는 더 높은 수익률로 보상을 받을 가능성이 높으므로 곡선의 오른쪽 아래에 있게 됩니다.

대부분의 투자자는 평균 위험 감수 능력에 속하므로 곡선의 중간을 차지합니다.

이는 수신된 데이터를 기반으로 투자자 범주를 분석하는 데 도움이 됩니다. 이는 주식 시장 중개인이 제품을 판매할 대상 고객 범주를 식별하는 데 도움이 됩니다.

• 실시예 2

확률 밀도 함수의 필수 응용 프로그램 중 하나는 일반 확률 변수라고도 하는 가우스 확률 변수입니다.

두 경우 모두 그래프는 확률 밀도 함수에 대한 종형 곡선을 제공합니다.

밀도는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

위의 밀도 방정식의 그래프는 아래와 같습니다.

곡선 아래 영역은 가우스 확률 변수의 실제 값을 나타냅니다.

결론

확률 밀도 함수는 기계 학습에서 중요한 역할을 합니다. 기계 학습 및 인공 지능 분야에서 경력을 쌓고자 하는 학생들은 upGrad의 기계 학습 IIT-Advanced 인증 프로그램에 등록하는 것이 좋습니다 . 이 프로그램은 고급 작업 전문가가 클라우드 컴퓨팅 기술을 사용하여 기계 학습 모델을 배포할 수 있도록 맞춤화 및 설계되었습니다.

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