순열 대 조합 : 순열과 조합의 차이점

계수, 배열, 순열 및 조합을 다루는 수학 분야인 조합론은 종종 가장 혼란스러운 영역 중 하나입니다. 그러나 그것은 확률의 전체 영역의 기초를 형성하고 결국 기계 학습 및 인공 지능에서 중요한 역할을 합니다. 이러한 이유 때문에 순열 및 조합은 더 진행하기 전에 마스터해야 하는 주제입니다.

장애물 역할을 하는 주요 혼란 중 하나는 순열과 조합의 차이입니다. 이러한 이유로 순열 및 조합의 주요 정의와 기능을 자세히 살펴보겠습니다. 이 두 용어가 어떻게 다른지, 어떤 시나리오에 어떤 용어를 적용해야 하는지 설명합니다.

의 시작하자!

순열 및 조합이란 무엇입니까 – 이들의 차이점

몇 가지 예를 사용하여 이러한 중요한 용어를 이해해 봅시다. 점심으로 샐러드를 주문한다고 가정해 보겠습니다. 선호하는 샐러드는 토마토, 당근, 무, 비트를 섞은 것일 수 있습니다. 이제 이러한 개별 채소가 모두 거기에 있는 한 샐러드에 추가되는 순서에 대해 신경 쓰지 않아도 됩니다. 당신이 신경 쓰는 것은 샐러드 그릇에 필요한 모든 야채를 넣는 것입니다. 샐러드는 "토마토, 당근, 무 및 비트" 또는 "토마토, 당근, 비트 및 무"로 구성될 수 있습니다. 이상적으로는 샐러드 소비자로서 두 시나리오가 동일할 것입니다.

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순열로 시작하기

이제 예를 약간 변경하여 직불 카드 PIN에 대해 생각해 보겠습니다. PIN이 7986인 경우 숫자 7, 8, 9, 6의 모음입니다. 그러나 이 경우 이러한 숫자의 모든 배열이 PIN이 되는 것은 아닙니다. PIN은 하나의 특정 시퀀스(7896)일 뿐입니다. 이 경우 순서가 중요합니다.

순열은 PIN 세부 정보와 정확히 같습니다. 순서는 매우 중요합니다. 세부 사항은 순열에 중요합니다. 순열의 경우 6/8/9는 9/6/8과 완전히 다르고 8/6/9와도 다릅니다. 따라서 순열의 경우 엔터티의 순서는 어떤 대가를 치르더라도 보존되어야 합니다.

좀 더 기술적인 의미로 정의하자면 순열은 선택 순서가 중요한 다른 항목을 선택하는 프로세스입니다. 주어진 집합의 일부 또는 모든 항목을 배열하는 방법의 수로 설명할 수 있습니다.

예를 들어 {a, b, c} 집합을 고려하십시오. 여기에서 요소의 모든 순열은 다음과 같습니다.

• 알파벳
• ACB
• bac
• bca
• 택시
• CBA

순열의 특별한 경우

염두에 두어야 할 순열의 두 가지 특별한 경우가 있습니다.

1. 반복으로

총 'n'개의 다른 유형에서 'k'에 대한 순열은 n*n*n*…k 번이라고 말할 수 있습니다.

그 이유는 간단합니다. 어떤 것이 n개의 다른 유형을 가질 때 … 매번 'n'개의 선택이 있습니다.

예를 들어, 그 중 3개를 선택하면 순열은 다음과 같습니다.

n × n × n

(n을 3배)

보다 일반적으로: 'k'개의 다른 유형을 가진 항목 중 'n'을 선택하면 순열은 다음과 같습니다.

n × n × … (k회)

2. 반복하지 않고

반복이 없으면 선택 항목이 매번 'n'으로 유지되지 않습니다. 대신 값은 각 선택에 따라 계속 감소합니다. 다음은 이를 더 잘 이해하기 위한 예입니다.

한 벌의 카드로 만든 서로 다른 4장의 카드 핸드의 수를 생각해 보십시오.

이제 첫 번째 카드의 경우 52장의 카드 중 하나를 선택할 수 있는 옵션이 있습니다. 따라서 52개의 선택 사항이 있습니다. 첫 번째 선택을 하고 나면 같은 카드를 다시 선택할 수 없으므로 다음 슬롯에 대한 선택은 51이 됩니다. 이 공식은 다음과 같이 일반화할 수 있습니다.

이를 일반화하기 위해 'n'개의 서로 다른 객체 그룹에서 'k'개의 서로 다른 객체의 서로 다른 순열에 대한 공식은 다음과 같이 주어질 수 있습니다.

P(n,k) = nPk = n! / (n−k)!

여기서 nPk는 'n'개의 다른 객체 집합에서 'k'개의 다른 객체의 순열 수이고 n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*… .

순열에서 이동 – 이제 조합으로

조합은 선택 순서가 관련이 없는 다양한 요소 집합에서 가능한 다양한 배열의 수를 결정하는 기술로 이해될 수 있습니다. 조합하여 원하는 순서로 항목을 선택할 수 있습니다. 이전에 샐러드 그릇의 예를 기억하십시오.

따라서 조합은 단순히 대량 컬렉션에서 다른 항목을 선택하는 방식이므로 순서가 중요하지 않습니다. 이를 더 잘 이해하려면 다음 예를 살펴보십시오.

1, 2, 3의 세 자리 숫자가 있고 세 자리 숫자를 만들고 싶다고 가정합니다. 가능한 숫자는 123, 213, 132, 231, 312, 321입니다. 조합을 사용하면 1, 2, 3을 특정 순서로 더 쉽게 배치할 수 있는 방법의 수를 찾을 수 있습니다. 조합은 n개 항목의 모음에서 k개 항목을 대체 없이 선택하는 것이며 다음과 같은 방식으로 수학적으로 작성할 수 있습니다.

C(n,k) = nCk = n! / 케이! * (n−k)!

예제를 사용하여 이 공식을 더 잘 이해해 봅시다. 코치가 6명의 수영 선수 그룹에서 3명의 수영 선수를 선택할 수 있는 방법의 수를 알아보십시오.

공식 사용:

nCk = n! /케이! * (n−k)!

우리의 질문에서 n의 값은 6이고 k의 값은 3입니다. 이를 공식에 유지하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

C(6,3) = 6! / 3!*2! = 60 => 코치는 60명의 다른 방법으로 6명의 수영 선수 중에서 3명의 수영 선수를 선택할 수 있습니다.

순열 및 조합의 몇 가지 일반적인 예

순열과 조합의 차이점을 더 잘 이해하는 데 도움이 되는 몇 가지 일상적인 예를 살펴보겠습니다. 이 예제를 통해 이 두 기술의 차이점을 쉽게 찾을 수 있습니다.

1. 순열

• 다른 사람, 숫자, 알파벳, 숫자, 야채 또는 색상을 배열합니다.
• 11명의 선수로 구성된 팀에서 팀 주장을 선택합니다.
• 여러 가지 색상 중에서 좋아하는 세 가지 색상을 선택합니다.
• 1차, 2차, 3차 우승자를 선정합니다.

2. 조합

• 음식 메뉴 선택, 목록에서 옷 선택, 코스 선택 등
• 한 그룹의 사람들에서 다른 수의 사람들을 선택합니다.
• 색상표에서 두 가지 색상을 선택합니다.
• 4명의 당첨자만 뽑습니다.

순열과 조합의 관계

순열 및 조합은 기본적으로 집합의 개체를 반복 여부에 관계없이 선택하여 새로운 주제를 형성하는 다양한 방식을 나타냅니다. 따라서 이 두 개념은 주어진 집합에 대한 하위 집합의 수를 세는 것으로 이해할 수 있습니다. 이 부분집합의 선택은 선택 순서가 중요할 때 순열이라고 하고 순서가 그다지 중요하지 않을 때 조합이라고 합니다.

보다 수학적 의미에서 순열과 조합은 서로 밀접한 관련이 있습니다. 조합은 단순히 n개 개체에서 만들 수 있는 다양한 선택을 세는 것입니다. 반면에 순열은 n개의 개체에서 서로 다른 배열의 수를 세는 것입니다.

순열과 조합의 아래 두 공식을 자세히 살펴보면 둘 사이의 수학적 관계를 스스로 도출할 수 있을 것입니다. 확인해 봐:

• nPr = n!/(nr)!
• nCr = n!/[r! (nr)!]

=> nPr = nCr / r!

=> nCr = r! * nPr

위에서 언급한 방정식은 순열과 조합 사이의 수학적 관계입니다.

순열과 조합의 차이점

다음은 순열과 조합의 기본적인 차이점을 이해하기 쉽게 만드는 표입니다.

예를 들어 순열과 조합의 차이점을 이해하여 실생활에서 어떻게 사용하는지 이해해 봅시다.

• 게임을 위한 팀 구성: 우리는 종종 조합을 사용하여 공정한 분배를 보장하기 위해 대규모 플레이어 그룹으로 구성할 수 있는 가능한 팀 수를 결정합니다.
• 행사를 위한 좌석 배치: 순열 공식을 사용하여 공식 행사 또는 공식 좌석 계획을 위한 가능한 좌석 배치 수를 결정할 수 있습니다.
• 위원회 구성 시 조합: 큰 그룹에서 몇 명을 선택하여 위원회 구성 가능성을 찾기 위해 조합을 적용할 수 있습니다.
• 암호 생성: 순열을 사용하여 주어진 숫자, 기호 및 알파벳 집합을 사용하여 형성할 수 있는 가능한 암호의 수를 계산할 수도 있습니다.

기억해야 할 점

• 조합은 순서를 고려하지 않고 더 큰 집합에서 객체의 하위 집합을 선택할 수 있는 방법의 수입니다. 순열은 객체 집합을 특정 순서로 배열할 수 있는 다양한 방법입니다.
• n과 k 값이 같으면 순열 수가 항상 조합 수를 초과합니다.
• 조합을 계산하는 동안 순서는 중요하지 않기 때문에 n개의 요소 집합에서 동일한 k개의 개체를 선택한 결과는 항상 동일합니다.
• 순열에서는 순서가 중요하기 때문에 n개의 개체 집합에서 같은 k개의 개체를 선택하더라도 선택 순서에 따라 결과가 달라집니다.

결론적으로

이것으로 순열과 조합의 차이점에 대한 이 블로그 게시물을 마칩니다. 조합론의 분야는 매우 방대하며 특히 확률이나 기계 학습과 같은 응용 분야와 관련하여 수학의 다른 많은 중요한 분야의 기반을 설정한다는 점을 명심하십시오. 이 기사에서 논의한 내용은 순열과 조합의 근본적인 차이점입니다. 그러나 이 지식을 가지고 있으면 PnC와 관련된 문제를 해결하는 동안 일반적으로 학생들이 직면하는 모든 혼란을 쉽게 해결할 수 있습니다.

이 기사의 모든 내용을 이해했다면 더 깊이 들어가 조합론의 다른 뉘앙스에 익숙해지는 것이 좋습니다. 기사를 잘 이해하지 못했다면 아래 의견에 질문을 하십시오.

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