順列と組み合わせ: 順列と組み合わせの違い

組み合わせ論 (数え、配置、順列、組み合わせを扱う数学の分野) は、多くの場合、最も混乱を招く分野の 1 つです。 ただし、これは確率の領域全体の基礎を形成し、最終的には機械学習と人工知能において重要な役割を果たします。 これらの理由により、順列と組み合わせは、次に進む前に習得する必要があるトピックです。

障害となる主な混乱の 1 つは、順列と組み合わせの違いです。 そのため、順列と組み合わせの主要な定義と機能を詳しく見ていきます。 これらの用語の違いと、どちらをどのシナリオに適用する必要があるかについて説明します。

さぁ、始めよう！

順列と組み合わせとは何ですか – それらの違い

いくつかの例を使用して、これらの重要な用語を理解してみましょう。 ランチにサラダを注文するとします。 お好みのサラダは、トマト、ニンジン、大根、ビーツの混合物かもしれません。 さて、これらの個々の野菜がすべて入っていれば、サラダに加える順序は気にしません。 あなたが気にするのは、サラダボウルに必要な野菜をすべて入れることだけです。 サラダは「トマト、ニンジン、大根、ビーツ」または「トマト、ニンジン、ビーツ、大根」で構成されます。 どちらのシナリオも、サラダの消費者であるあなたにとって理想的には同じです。

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順列から始める

ここで、例を少し変えて、デビット カードの PIN について考えてみましょう。 PIN が 7986 の場合、それは 7、8、9、6 の数字の集合です。ただし、この場合、これらの数字の配列すべてが PIN になるわけではありません。 それは 1 つの特定のシーケンス (7896) だけであり、それが PIN です。 この場合、順序が重要です。

順列は PIN の詳細とまったく同じであり、順序が非常に重要です。 順列では詳細が重要です。 順列では、6/8/9 は 9/6/8 とはまったく異なり、9/6/8 は 8/6/9 などとも異なります。 したがって、順列の場合は、エンティティの順序を何としても維持する必要があります。

したがって、もう少し技術的な意味で定義すると、順列とは、選択の順序が重要となるさまざまな項目を選択するプロセスです。 これは、特定のセットの一部またはすべてのアイテムを配置する方法の数として説明できます。

たとえば、セット – {a, b, c} について考えてみましょう。 この場合、要素のすべての順列は次のとおりです。

• ABC
• acb
• バック
• BCA
• タクシー
• CBA

置換の特殊なケース

覚えておくべき順列の特殊なケースが 2 つあります。

1. 繰り返しあり

合計「n」個の異なるタイプからの何かの「k」個の順列は、n*n*n*…k 回であると言えます。

その理由は簡単です。物に n 個の異なるタイプがある場合、毎回「n」個の選択肢があることになります。

たとえば、これらのうち 3 つを選択すると、順列は次のようになります。

n × n × n

(nを3倍する)

より一般的には、「k」個の異なるタイプを持つものから「n」を選択すると、順列は次のようになります。

n × n × … (k 回)

2. 繰り返しなし

繰り返しを使用しないと、選択肢が毎回「n」のままになることはありません。 代わりに、選択するたびに値が減少し続けます。 これをよりよく理解するための例を次に示します。

1 組のカードから作られる 4 枚のカードの手の数を考えてみてください。

ここで、最初のカードについては、52 枚のカードから任意の 1 枚を選択するオプションがあります。 つまり、選択肢は 52 通りあります。 最初のカードを選択すると、同じカードを再度選ぶことはできないため、次のスロットの選択肢は 51 になります。同様に、次のカードを引くたびに、以前よりも選択肢が減ります。 この式は次のように一般化できます。

これを一般化すると、「n」個の異なるオブジェクトのグループからの「k」個の異なるオブジェクトの異なる順列の公式は次のように与えられます。

P(n,k) = nPk = n! / (n−k)!

ここで、 nPk は、「n」個の異なるオブジェクトのセットからの「k」個の異なるオブジェクトの順列の数であり、n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*…。 。

順列から組み合わせへ

組み合わせは、異なる要素のセット内で可能な異なる配置の数を決定するための手法として理解できます。この場合、選択の順序は関係ありません。 組み合わせて、項目を任意の順序で選択できます。先ほどのサラダ ボウルの例を思い出してください。

したがって、組み合わせは大量のコレクションから異なるアイテムを選択するための単なる方法であり、順序は重要ではありません。 これをよりよく理解するために、次の例を見てみましょう。

1、2、3 という 3 つの数字があり、3 桁の数字を作りたいとします。 考えられる数値は、123、213、132、231、312、および 321 です。組み合わせを使用すると、1、2、3 を特定の順序で配置する方法の数をより簡単に見つけることができます。 組み合わせとは、n 個の物の集合から k 個の物を置換せずに選択したもので、数学的には次のように記述できます。

C(n,k) = nCk = n! / き！ * (n−k)!

例を使用して、この式をさらに理解してみましょう。 コーチが 6 人の水泳選手のグループから 3 人の水泳選手を選ぶ方法が何通りあるか調べてください。

式を使用すると、次のようになります。

nCk = n! / き！ * (n−k)!

この質問では、n の値は 6、k の値は 3 です。これを式に入れると、次のようになります。

C(6,3) = 6! /3!*2! = 60 => コー​​チは 60 通りの方法で 6 人の水泳選手から 3 人の水泳選手を選択できます。

順列と組み合わせの一般的な例

順列と組み合わせの違いをよりよく理解するために、日常的な例をいくつか見てみましょう。 これらの例を通じて、これら 2 つの手法の違いを簡単に見つけることができます。

1. 順列

• さまざまな人物、数字、アルファベット、数字、野菜、色を配置します。
• 11人の選手からなるチームの中からキャプテンを選出します。
• 数色の中から好きな色を3色選びます。
• 1位、2位、3位の当選者を選出します。

2. 組み合わせ

• 食事のメニューや服装、コースの科目などを一覧から選択します。
• 人々のグループから異なる数の人を選ぶ。
• カラーブックから 2 色を選択します。
• 当選者は4名のみとなります。

順列と組み合わせの関係

順列と組み合わせは本質的に、新しい主題を形成するために、繰り返しの有無にかかわらず、セットからオブジェクトを選択するさまざまな方法を指します。 したがって、これらの概念は両方とも、特定のセットのサブセットの数を数えるものとして理解できます。 このサブセットの選択は、選択の順序が重要な場合は順列と呼ばれ、順序がそれほど重要でない場合は組み合わせと呼ばれます。

より数学的な意味では、順列と組み合わせは互いに密接に関連しています。 組み合わせとは、単に n 個のオブジェクトから選択できるさまざまな選択を数えることです。 一方、順列は、n 個のオブジェクトからの異なる配置の数を数えることです。

以下の 2 つの順列と組み合わせの公式をよく見ると、この 2 つの間の数学的関係を自分で導き出すことができます。 確認してください:

• nPr = n!/(nr)!
• nCr = n!/[r! (nr)!]

=> nPr = nCr / r!

=> nCr = r! * NPR

上で述べた方程式は、順列と組み合わせの間の数学的な関係です。

順列と組み合わせの違い

以下は、順列と組み合わせの基本的な違いを理解しやすくするための表です。

並べ替えと組み合わせの違いを例で理解して、実際の生活でそれらをどのように使用するかを理解しましょう。

• ゲーム用のチームの編成:公平な配分を確保するために、多くのプレーヤーのグループから何チームを編成できるかを決定するために、多くの場合、組み合わせを使用します。
• イベントの座席配置:順列公式を使用して、正式なイベントまたは公式座席表で使用可能な座席配置の数を決定できます。
• 委員会を形成する際の組み合わせ:組み合わせを適用して、より大きなグループから数人の個人を選択して委員会を形成する可能性を調べることができます。
• パスワードの作成:順列を使用して、特定の数字、記号、アルファベットのセットを使用して作成できるパスワードの数を計算することもできます。

留意事項

• 組み合わせとは、順序を考慮せずに、より大きなセットからオブジェクトのサブセットを選択できる方法の数です。 順列とは、一連のオブジェクトを特定の順序で配置するためのさまざまな方法です。
• n と k の値が同じ場合、順列の数は常に組み合わせの数を超えます。
• 組み合わせの計算中に順序は重要ではないため、n 個の要素のセットから同じ k 個のオブジェクトを選択した結果は常に同じになります。
• 順列では順序が重要であるため、n 個のオブジェクトの集合から同じ k 個のオブジェクトを選択した場合でも、選択順序によって結果が異なります。

結論は

これで、順列と組み合わせの違いに関するこのブログ投稿は終わります。 組み合わせ論の分野は非常に広大で、特に確率や機械学習などの応用分野に関しては、数学の他の多くの重要な分野の基礎となることに留意してください。 この記事で説明したことは、順列と組み合わせの基本的な違いにすぎません。 ただし、この知識があれば、一般に学生が PnC に関する問題を解決する際に直面するすべての混乱に簡単に取り組むことができます。

この記事の内容をすべて理解できた場合は、さらに深く掘り下げて、組み合わせ論の他のニュアンスについて理解することをお勧めします。 記事をよく理解できなかった場合は、以下のコメントで疑問を質問してください。

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