順列と組み合わせの違い

順列と組み合わせはどちらも、論理で数を数える上で不可欠な要素です。 カウントは確率の問題を解決します。 したがって、確率を学習する前に、順列と組み合わせについて学習することが非常に重要です。 さらに重要なことは、これら 2 つの主な違いを知る必要があることです。 順列はメンバーの順序を考慮します。 一方、Combination では順序は問いません。 たとえば、数字、オブジェクト、またはアルファベットの規則的な配置は順列として知られていますが、前述のオブジェクト、数字、またはアルファベットのクラスターを選択することは組み合わせと見なすことができます。

この記事では、順列と組み合わせを定義し、2 つの別個の概念をよりよく理解するのに役立つさまざまな例を示すことで、これらの主な違いに焦点を当てます。

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順列とは？

順列とは、順序を念頭に置いて選択するプロセスです。 これは、順序内のいくつかまたはすべてのメンバーを配置できる方法の数として定義されます。 したがって、「順列」という用語は、セット内のメンバーの順序に関するものです。

例えば：

文字 {a、b、c} の小さなセットの順列は次のとおりです。

abc abc

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キャブcba

グループまたは n のセットから取得された k 個のオブジェクトの順列の合計の式は、通常、nPk として記述されます。

方式：

nPk=n!(n−k)!=n(n−1)(n−2)…(n−n+1)(n−k)(n−k−1)(n−k−2)… (n−k−n−k+1)

順列には次の 2 種類があります。

• 繰り返しのある順列

n 種類の異なる要素から r を選択すると、順列は次のようになります。

n×n×…

(r回)

同様に、最初の選択プロセスの可能性はありません。 したがって、毎回増殖し続ける次の選択プロセスの可能性はありません。

r の指数を使用すると、次のように簡単に書き留めることができます。

したがって、nr=n×n×…

(r 回まで)

したがって、式は次のとおりです。

ここで、n は要素のセットまたはクラスターから選択する必要がある要素の総数です。 それらから r を選択する必要があります。 順序が重要であり、繰り返しが許可されていることに注意することも重要です。

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• 繰り返しのない順列

繰り返しがないと、毎回選択肢が減っていきます。 最も簡単で最も一般的に使用される例を見てみましょう。

カード デッキから作成された 4 枚のカードの異なる手の合計数:-

この特定の問題では、カードを選択する際にどの順序に従うかは重要ではないため、順序は関係ありません。 4 カード ハンドを表す 4 つの線から始めます。 最初のドローで 52 枚のカードすべての最初のブランクに「52」が配置されたとします。 カードを選択すると、すでに 1 枚のカードが選択されています。 したがって、次のドローで使用できるカードが 1 枚少なくなります。 したがって、2 番目の空白は 51 の使用可能なオプションを提供します。 また、デッキの次のドローで得られるカードが 2 枚少なくなるため、50 のオプションが残ります。 式は次のとおりです。

P(nr)=nPr=n!(n-k)!

上記の式を使用した結果を以下に示します。

P(524)=52P4=52!48!

ここで、n は一連の要素の中から選択する必要があるオブジェクトの数であり、そのうちの r を選択します。 ここでは繰り返しはなく、順序は関係ありません。

順列の例

• 数字、アルファベット、数字、文字、人、色などの配置。
• チームのキーパーまたはキャプテンと、1 つのグループから特定の 1 人を選択すること。
• 色の本から好きな色を2つ順番に選んでいきます。
• 1 位、2 位、3 位の勝者を選出します。

コンビネーションとは？

組み合わせは、選択順序が重要ではない大規模なコレクションから項目を選択する方法です。 組み合わせは、セット内のすべてまたは一部のメンバーを選択することによって、1 つのグループを選択する方法であると簡単に言えます。 セット内の要素を組み合わせるときに従わなければならない特定の順序はありません。

比較的小さなケースでは、組み合わせの実際の合計を数えるのは簡単です。 組み合わせとは、一度に k 個取られる n 個のものを繰り返しなしで組み合わせることを指します。 n 個のオブジェクトの特定のセットから、置換も順序も考慮せずに r 個のオブジェクトを選択しています。 組み合わせを作成する方法は数多くありますが、それらはすべてそれ自体が正しいものです。 1 つの組み合わせを特定するための特定の方法や「正しい」方法は設定されていないため、組み合わせと呼ばれています。

次の組み合わせ式を使用すると、任意のセットで組み合わせを簡単に取得できます。

C(nr)=nCr=nPrr!=n!r!(n-k)!

以下に、これを説明する例を示します。

3 桁の数字を作成するために必要な 3 桁の数字 (1,2,3) を取りましょう。したがって、以下の数字のみが可能であると推測できます。

123、132、213、231、312、321..

前に見たように、組み合わせを使用すると、「1 2 3」を特定の順序に並べる方法の数を簡単に計算できます。 答えは次のとおりです。

3！ = 3 ×

2 ×

1 = 6

したがって、順列の式は、オブジェクトが順序付けられる方法の数だけ減らすために再印刷されました。

組み合わせ例

• 料理、メニュー、題材、服装、チームなどの選択
• チームまたはグループから 3 人のメンバーを選択します。
• 色の本から 2 色を選択します。
• 当選者は3名のみ。

順列と組み合わせの見分け方の要点

確率を計算しながら、順列と組み合わせの違いを学ぶことが、それを習得するための鍵です。 主な相違点を以下の表に示します。

順列と組み合わせを使用する場合の例

たとえば、X、Y、Z の 3 つのオブジェクトから合計 2 つの可能性があるサンプルを見つける必要がある場合、この特定の問題に関連する方法を理解する必要があります。 したがって、順序を考慮する必要があるかどうかを確認する必要があります。

オブジェクトの順序がこの問題に不可欠である場合、それは順列に関連しています。 考えられるサンプルは次のとおりです。

XY、YX、YZ、ZY、XZ、および ZX。

この場合、XY はサンプル YX とは異なります。 YZ はサンプル ZY とは異なります。 XZ はサンプル ZX とは異なります。

ただし、オブジェクトの順序が義務付けられている場合は、可能なサンプルが次のようになる組み合わせ方法で問題を解決できます。

XY、YZ、および ZX。

順列と組み合わせの類似点

数学的概念を考えると、「順列」と「組み合わせ」は互いに関連しています。 n 個のオブジェクトからの選択をカウントすることをコンビネーションと呼び、n 個のオブジェクトの合計配置をカウントすることを順列と呼びます。 組み合わせは順序、配置、または配置を重視しますが、主に選択を重視することを覚えておく必要があります。

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結論

順列と組み合わせが統計、数学、研究、そして私たちの日常生活の分野に不可欠であることは容易に推測できます。 順列は常に組み合わせよりも高いと想定されることに注意することが重要です。 順列と組み合わせについて詳しく知りたい場合は、upGrad の一流コースからこれらの概念について詳しく学ぶことができます。 優れたコースの 1 つは、機械学習と人工知能の理学修士です。