Permutazione vs combinazione: differenza tra permutazione e combinazione

La combinatoria - il campo della matematica che si occupa di contare, arrangiamenti, permutazioni e combinazioni - è spesso una delle aree più confuse. Tuttavia, costituisce la base dell'intero dominio della probabilità e alla fine svolge un ruolo cruciale nell'apprendimento automatico e nell'intelligenza artificiale. Per questi motivi, permutazioni e combinazioni è un argomento che deve essere approfondito prima di procedere oltre.

Una delle principali confusioni che fungono da ostacolo è la differenza tra permutazioni e combinazioni. Per questo motivo, daremo uno sguardo approfondito alle definizioni chiave e alle caratteristiche di Permutazioni e Combinazioni. Questo spiegherà in che modo entrambi questi termini differiscono e quale dovrebbe essere applicato in quale scenario.

Cominciamo!

Cosa sono le permutazioni e le combinazioni: le differenze tra loro

Proviamo a capire questi termini cruciali usando alcuni esempi. Supponi di voler ordinare un'insalata per pranzo. La tua insalata preferita può essere una miscela di pomodori, carote, ravanelli e barbabietole. Ora, non ti interessa l'ordine in cui queste singole verdure vengono aggiunte alla tua insalata finché sono tutte lì. Tutto ciò che ti interessa è avere tutte le verdure necessarie nella tua insalatiera. L'insalata potrebbe essere composta da "pomodori, carote, ravanelli e barbabietole" o "pomodori, carote, barbabietole e ravanelli". Entrambi gli scenari saranno idealmente gli stessi per te, in quanto consumatore di insalata.

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A partire dalla permutazione

Ora, cambiamo un po' l'esempio e pensiamo al PIN della tua carta di debito. Se il tuo PIN è 7986, è una raccolta di cifre 7, 8, 9 e 6. Tuttavia, in questo caso, non tutte le disposizioni di queste cifre finiranno per essere il tuo pin. È solo una sequenza specifica - 7896 - che è il tuo PIN. In questo caso, l'ordine è essenziale.

Le permutazioni sono esattamente come i dettagli del PIN: l'ordine è estremamente importante. I dettagli sono importanti per le permutazioni. Per una permutazione, 6/8/9 è completamente diverso da 9/6/8, che è diverso da 8/6/9 e così via. Per le permutazioni, quindi, l'ordine delle entità deve essere preservato a tutti i costi.

Quindi, per definirlo in un senso un po' più tecnico, la permutazione è un processo di selezione di diversi elementi in cui l'ordine di selezione è importante. Può essere descritto come il numero di modi di disporre alcuni o tutti gli elementi di un dato insieme.

Ad esempio, considera un insieme - {a, b, c}. In questo, tutte le permutazioni degli elementi sono le seguenti:

• abc
• acb
• bac
• bca
• taxi
• cba

Casi speciali di permutazioni

Ci sono due casi speciali di permutazioni che dovresti tenere a mente:

1. Con ripetizione

Si può dire che le permutazioni per 'k' di qualcosa da un totale di 'n' tipi diversi siano n*n*n*…k volte.

La ragione di ciò è semplice: quando una cosa ha n tipi diversi... hai 'n' numero di scelte ogni volta.

Ad esempio: scegliendo 3 di queste cose, le permutazioni sono:

n×n×n

(n moltiplicato 3 volte)

Più in generale: scegliendo 'n' di qualcosa che ha 'k' diversi tipi, le permutazioni sono:

n × n × … (k volte)

2. Senza ripetizione

Senza Ripetizione, le scelte non rimarranno 'n' ogni volta. Invece, i valori continuano a diminuire con ogni scelta che fai. Ecco un esempio per capire meglio:

Prova a pensare al numero di diverse mani di 4 carte ottenute da un mazzo di carte?

Ora, per la prima carta, hai la possibilità di selezionare una qualsiasi delle 52 carte. Quindi, hai 52 scelte. Una volta che hai fatto la tua prima scelta, non puoi scegliere di nuovo la stessa carta, quindi le scelte per lo slot successivo diventano 51. Allo stesso modo, ogni prossima estrazione si tradurrà in un minor numero di scelte rispetto a prima. Questa formula può essere generalizzata come:

Per generalizzare questo, la formula per le diverse permutazioni di 'k' oggetti diversi da un gruppo di 'n' oggetti diversi può essere data come:

P(n,k) = nPk = n! / (n-k)!

Dove nPk è il numero di permutazioni di 'k' oggetti diversi da un insieme di 'n' oggetti diversi, e n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*…. .

Passando dalle permutazioni, ora alle combinazioni

Una combinazione può essere intesa come una tecnica per determinare il numero di diverse disposizioni possibili in un insieme di elementi diversi, dove l'ordine di selezione non è rilevante. In combinazione, puoi selezionare gli articoli in qualsiasi ordine: ricorda il nostro precedente esempio della tua insalatiera.

Pertanto, la combinazione è semplicemente il modo di selezionare articoli diversi da una raccolta in blocco in modo che l'ordine non sia importante. Per capirlo meglio, prendi il seguente esempio:

Supponiamo di avere tre cifre – 1, 2, 3 – e di voler creare un numero di tre cifre. I numeri possibili sono 123, 213, 132, 231, 312 e 321. Usando le combinazioni, possiamo trovare il numero di modi in cui 1, 2, 3 possono essere inseriti più facilmente in un particolare ordine. Una combinazione è la selezione di k cose da una raccolta di n cose senza alcuna sostituzione e può essere scritta matematicamente nel modo seguente:

C(n,k) = nCk = n! / K! * (n-k)!

Comprendiamo meglio questa formula usando un esempio. Prova a scoprire in quanti modi un allenatore può scegliere tre nuotatori da un gruppo di 6 nuotatori.

Usando la formula:

nCk = n! / K! * (n-k)!

Nella nostra domanda, il valore di n è 6 e il valore di k è 3. Mantenendolo nella formula, otteniamo:

C(6,3) = 6! / 3!*2! = 60 => L'allenatore può scegliere 3 nuotatori da un set di 6 nuotatori in 60 modi diversi.

Alcuni esempi comuni di permutazioni e combinazioni

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi quotidiani per aiutarti a comprendere meglio le differenze tra permutazioni e combinazioni. Attraverso questi esempi, sarai in grado di individuare facilmente le differenze tra queste due tecniche.

1. Permutazioni

• Organizzare diverse persone, numeri, alfabeti, cifre, verdure o colori.
• Selezione di un capitano della squadra da una squadra di 11 giocatori.
• Scegliere tre colori preferiti da diversi colori.
• Selezione del primo, secondo e terzo vincitore.

2. Combinazioni

• Selezionando il menu del cibo, i vestiti da un elenco, le materie per i corsi, ecc.
• Scegliere un numero diverso di persone da un gruppo di persone.
• Scegliere due colori da un libro di colori.
• Scegliendo solo quattro vincitori.

Relazione tra permutazione e combinazione

Permutazioni e Combinazioni si riferiscono essenzialmente ai diversi modi in cui gli oggetti di un insieme possono essere selezionati – sia con che senza Ripetizione – per formare nuovi soggetti. Quindi, entrambi questi concetti possono essere intesi come contare il numero di sottoinsiemi per un dato insieme. Questa selezione di sottoinsiemi è chiamata permutazione quando l'ordine di selezione è importante e combinazione quando l'ordine non è così importante.

In un senso più matematico, la permutazione e la combinazione sono strettamente correlate l'una all'altra. La combinazione è semplicemente il conteggio delle diverse selezioni che possono essere fatte da n oggetti. D'altra parte, la permutazione sta contando il numero di arrangiamenti diversi da n oggetti.

Se osservi da vicino le due formule seguenti di Permutazione e Combinazione, sarai in grado di derivare una relazione matematica tra i due da solo. Controllalo:

• nPr = n!/(nr)!
• nCr = n!/[r! (nr)!]

=> nPr = nCr / r!

=> nCr = r! * National Public Radio, Radio Pubblica

L'equazione di cui sopra è la relazione matematica tra permutazione e combinazione.

Differenza tra permutazione e combinazione

Ecco una tabella che renderà più facili da capire le differenze fondamentali tra permutazione e combinazione.

Comprendiamo la differenza tra permutazione e combinazione con l'esempio per darti un'idea di come li usiamo nella vita reale.

• Formare una squadra per una partita: spesso usiamo combinazioni per determinare quante squadre possibili potrebbero essere formate da un grande gruppo di giocatori per garantire una distribuzione equa.
• Disposizione dei posti per un evento: è possibile utilizzare la formula di permutazione per determinare il numero di possibili disposizioni dei posti per eventi formali o piani di posti ufficiali.
• Combinazione durante la formazione di comitati: è possibile applicare combinazioni per scoprire la possibilità di formare un comitato selezionando alcune persone da un gruppo più ampio.
• Creazione di una password: possiamo anche utilizzare le permutazioni per calcolare il numero di possibili password che possono essere formate utilizzando un determinato insieme di numeri, simboli e alfabeti.

Punti da ricordare

• La combinazione è il numero di modi in cui puoi selezionare un sottoinsieme di oggetti da un insieme più grande senza prendere in considerazione l'ordine. Mentre la permutazione è il diverso numero di modi in cui puoi disporre un insieme di oggetti in un ordine specifico.
• Se i valori n e k sono gli stessi, il numero di permutazioni supererà sempre il numero di combinazioni.
• Poiché l'ordine non ha importanza durante il calcolo delle combinazioni, il risultato della scelta degli stessi k oggetti da un insieme di n elementi sarà sempre lo stesso.
• Poiché l'ordine è essenziale nella permutazione, anche se scegli gli stessi k oggetti da un insieme di n oggetti, il risultato sarà diverso a seconda dell'ordine di selezione.

Insomma

Con ciò, arriviamo alla fine di questo post sul blog sulle differenze tra permutazione e combinazione. Tieni presente che il campo della Combinatoria è eccezionalmente vasto e pone le basi di molti altri campi vitali della matematica, specialmente quando si tratta di campi applicativi come Probabilità o Machine Learning. Ciò di cui abbiamo discusso nell'articolo sono solo le differenze fondamentali tra permutazione e combinazione. Tuttavia, con questa conoscenza al tuo fianco, puoi facilmente affrontare tutte le confusioni che generalmente gli studenti affrontano mentre risolvono problemi relativi a PnC.

Se hai capito tutto in questo articolo, ti consigliamo di approfondire e familiarizzare con altre sfumature di combinatoria. Se non hai capito bene l'articolo, poni i tuoi dubbi nei commenti qui sotto.

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