Probabilità condizionale spiegata con applicazioni di vita reale

Che cos'è la probabilità condizionale?

La probabilità condizionata, nella teoria della probabilità, è definita come la misura della probabilità che un evento si verifichi, supponendo che un altro evento o risultato si sia verificato in precedenza. Si esprime come moltiplicazione della probabilità dell'evento precedentemente avvenuto con la probabilità dell'evento condizionale che si è verificato in successione.

Quindi, se abbiamo eventi A e B dove P(B)>0, calcoliamo la probabilità condizionata di A quando B si è già verificato, P(A | B) come

P(A | B)=P(A∩B)P(B)

• | è usato per denotare "dato" nei "casi in cui si verifica un altro evento"
• ∩ è usato per denotare l'intersezione

Durante il calcolo della probabilità condizionata, si presume che siamo consapevoli dell'esito dell'evento B. Ciò è particolarmente utile poiché le informazioni sull'esito di un esperimento sono spesso sconosciute.

Capiamolo con un esempio:

• Abbiamo un evento A in cui assumiamo che una persona che ha fatto domanda per un'università sarà accettata. La probabilità che vengano accettati è del 70%.
• Abbiamo un altro evento B in cui c'è una probabilità del 50% che agli studenti ammessi venga assegnato un alloggio in dormitorio.

Quindi, calcoliamo la probabilità condizionata come,

Probabilità (Studenti ammessi e Dormitorio assegnato) = P (Dormitorio assegnato | Studenti accettati) × P (Studenti ammessi)

= (0,50)*(0,70) = 0,35

Con probabilità condizionata, stiamo osservando entrambi gli eventi A e B, il loro rapporto tra loro in cui uno studente viene accettato all'università e viene assegnato un alloggio in dormitorio.

Al contrario, la probabilità incondizionata è definita come la misura della probabilità che un evento si verifichi indipendentemente dal fatto che sia preceduto da un altro evento o abbia altre condizioni date.

Applicazioni reali della probabilità condizionale

La probabilità condizionale trova ampio uso in diversi campi come l'assicurazione e il calcolo. Vale anche in politica. Supponiamo che ci sia una prevista rielezione di un presidente. I risultati dipenderanno dalle preferenze degli aventi diritto al voto e dalla probabilità di esito delle campagne pubblicitarie televisive.

In un altro esempio, supponiamo che la probabilità di pioggia nella tua zona sia del 40% come specificato dal tempo. Tuttavia, questo risultato dipende in gran parte da:

• Se ci sono nuvole che si formano nella tua zona
• Se c'è la possibilità che un fronte freddo arrivi nella tua zona
• Se le nuvole vengono allontanate da un altro fronte

La probabilità condizionata dipenderà da ciascuno degli eventi di cui sopra.

Teorema di Bayes

Introdotto dal matematico Thomas Bayes, il teorema di Bayes o la regola di Bayes o la legge di Bayes è un'equazione matematica che aiuta a calcolare la probabilità condizionata. Usando il teorema di Bayes, possiamo rivedere (aggiornare) le misure di probabilità esistenti quando vengono alla luce nuove prove o informazioni aggiuntive.

Il teorema di Bayes trova impiego in finanza dove i contabili lo usano per determinare il rischio di prestare denaro a un mutuatario. Oltre a questo, è utile anche in statistica e logica induttiva.

La statistica bayesiana si basa sul teorema di Bayes in cui è possibile prevedere gli eventi sulla base di nuove prove, portando così a stime più dinamiche e accurate.

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Esempio di probabilità condizionale con Python

In questo esempio, utilizzeremo la probabilità condizionale per determinare la probabilità che uno studente ottenga un voto A (80%+) in Fisica, a condizione che salti un minimo di 10 lezioni.

Per cominciare, controlla il set di dati che scarichi da kaggle :

importa panda come pd

df = pd.read_csv('student-alcohol-consumption/student-mat.csv')

df.head(3)

Esamina il numero di record:

len(df)

#=> 395

Prenderemo in considerazione solo le seguenti colonne: il numero delle assenze e il voto finale.

Ora, crea una nuova colonna booleana grade_A per mostrare se il punteggio finale di uno studente è pari o superiore all'80%.

Moltiplica per 5:

df['grade_A'] = np.where(df['G3']*5 >= 80, 1, 0)

Crea una nuova colonna booleana high_absenses con valore 1 che indica gli studenti che hanno saltato un minimo di 10 lezioni.

df['high_absenses'] = np.where(df['assenze'] >= 10, 1, 0)

Crea un'altra colonna in modo da poter costruire facilmente una tabella pivot:

df['conta'] = 1

Rimuovi tutte le altre colonne:

df = df[['grade_A','high_absenses','count']]

df.head()

Costruire una tabella pivot:

pd.tabella_pivot(

df,

valori='conteggio',

indice=['grado_A'],

colonne=['high_absense'],

aggfunc=np.size,

valore_riempimento=0

)

Ora possiamo procedere al nostro calcolo:

• P(A) indica la probabilità che uno studente ottenga un voto A (80% o superiore).
• P(B) è la probabilità che uno studente abbia saltato un minimo di 10 lezioni.
• P(A|B) è la probabilità che uno studente abbia ottenuto un voto 80%+, dato che ha saltato un minimo di 10 lezioni.

P(A) = (35 + 5) / (35 + 5 + 277 + 78) = 0,10126…

P(B) = (78 + 5) / (35 + 5 + 277 + 78) = 0,21012…

P(LA ∩ B) = 5 / (35 + 5 + 277 + 78) = 0,0126582…

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 0,06

Secondo i nostri calcoli, la probabilità che uno studente abbia ottenuto un voto superiore all'80%, dato che ha saltato un minimo di 10 lezioni è almeno del 6%.

Probabilità condizionata di eventi indipendenti

Abbiamo anche eventi, diciamo A e B, dove entrambi sono eventi indipendenti, il che significa che il verificarsi dell'evento A non ha alcuna relazione con il verificarsi dell'evento B.

In tal caso, la probabilità condizionata P(B|A) è essenzialmente P(B).

P(B|A)= P(B)

Allo stesso modo, la probabilità condizionata P(A|B) è essenzialmente P(A).

P(A|B)= P(A)

Probabilità condizionata di eventi mutualmente esclusivi

Secondo la teoria della probabilità, quando si parla di eventi che non possono verificarsi contemporaneamente, si parla di mutualità. Per dirla semplicemente, se l'evento A si è verificato, l'evento B non può verificarsi contemporaneamente. Pertanto, in questi casi, la probabilità è sempre zero.

P(B|A)= 0 e P(A|B)= 0

Legge della Probabilità Totale

Usiamo la regola della moltiplicazione per determinare la probabilità di casi complessi.

Secondo la regola della moltiplicazione, calcoliamo la probabilità di eventi, E ed F, entrambi osservanti eventi, moltiplicando la probabilità dell'evento osservante F e dell'evento osservante E, dato che l'evento F è già stato osservato.

P( E1 ⋂ E2 ⋂….. ⋂En)=P( E1) P(E2 | E1)………P(En | E1…………En-1)

Ora, supponiamo di avere uno spazio campionario S comprendente tre eventi disgiunti X, Y, Z. Pertanto ,

P(A)=P(A ⋂ X) +P(A ⋂ Y) +P(A ⋂ Z)

Ora, secondo la regola della moltiplicazione, la legge della probabilità totale può essere espressa come

P(A)= P(A|X) P(X) +P(A|Y) P(Y) +P(A| Z) P(Z)

Conclusione

La comprensione della probabilità condizionale è necessaria per padroneggiare complesse stime di probabilità che vengono eseguite utilizzando il teorema di Bayes. Se desideri approfondire la probabilità condizionale e il teorema di Bayes, ti consigliamo di iscriverti al nostro programma IIT-Advanced Certificate in Machine Learning .

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