Formula di progressione aritmetica: tutto ciò che devi sapere

introduzione

Una progressione aritmetica è una sequenza in cui il termine successivo nella sequenza si ottiene aggiungendo una costante a ciascun termine. La costante aggiunta è chiamata differenza comune. È una sequenza tale che la differenza tra due termini consecutivi nella sequenza è sempre una costante.

Supponiamo, n 1 , n 2 , n 3 ……..n n sono i

termini di una sequenza di progressione aritmetica.

Allora, n 2 = n 1 + d, n 3 = n 2 + d e così via.

Dove n 1 = il primo termine ed è la differenza comune

Esempi di progressione aritmetica

Verificare se la seguente sequenza 3, 6, 9, 12, 15 è una progressione aritmetica o meno.
Affinché questa sequenza sia una sequenza di progressione aritmetica, la differenza comune tra i termini consecutivi dovrebbe essere costante.

Differenza comune (d) = n 2 – n 1 deve essere uguale a n 3 – n 2 e così via.

In questa sequenza, d = 6 – 3 = 3, 9 – 6 = 3, 12 – 9 = 3 e 15 – 12 = 3.

La differenza tra termini consecutivi è costante. Quindi, la sequenza di cui sopra è una progressione aritmetica.

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Formula di progressione aritmetica

Per comprendere la formula della progressione aritmetica , è necessario avere familiarità con le terminologie utilizzate nella formula.

Primo termine

Come dice il nome, il primo termine è il primo termine della sequenza, che di solito è rappresentato da n 1 . Ad esempio, nella sequenza 5, 12, 19, 26, 33, il primo termine è 5.

Differenza comune

Una differenza comune è il numero fisso che viene aggiunto o sottratto tra due termini consecutivi (tranne il primo termine) nella progressione aritmetica. È indicato con 'd'.

Ad esempio, se n 1 è il primo termine, allora:

n 2 = n 1 + d

n 3 = n 2 + d e così via

Formula di progressione aritmetica per trovare il termine generale o l'ennesimo termine

Il termine generale o n- esimo termine in una progressione aritmetica si trova da:

N n = a + (n-1) *d

dove 'a' è il primo termine e 'd' è una differenza comune.

Quindi, 1° termine , N 1 = a + (1-1) *d

2 ° termine, N 2 = a + (2-1) *d

3 ° termine, N 3 = a + (3-1) *d

Calcolando 'n' termini nella formula sopra, otteniamo la forma generale di una progressione aritmetica.

a, a + d, a + 2d, a + 3d, …… a + (n-1) *d

Formula di progressione aritmetica per trovare la somma

La formula della progressione aritmetica per la somma di 'n' termini dove 'a' è il primo termine e 'd' è una differenza comune è la seguente.

Quando l'ennesimo termine è sconosciuto:

S n = (n/2) * [2a + (n - 1) * d]

Quando l'ennesimo termine è noto:

Sn = (n/2) * [a 1 + a n ]

Derivazione della formula

Assumiamo che 't' sia l'ennesimo termine della serie e S n sia la somma dei primi n termini in una progressione aritmetica: a, (a + d), (a + 2d), …., a + (n – 1) * d.

Quindi,

Sn = a 1 + a 2 + a 3 + ….a n -1 + a n

Sostituendo i termini nella formula precedente, otteniamo

S n = a + (a + d) + (a + 2d) + …….. + (t – 2d) + (t – d) + t …(1)

Dopo aver scritto l'equazione (1) nell'ordine inverso

S n =t + (t – d) + (t – 2d) + …….. + (a + 2d) + (a + d) + a …(2)

Ora, aggiungi l'equazione (1) e (2), otteniamo

2S n = (a + t) + (a + t) + (a + t) + …….. + (a + t) + (a + t) + (a + t)

2S n = n * (a + t)

S n = (n/2) * (a + t) …(3)

Sostituiamo l'ultimo termine 't' con l'ennesimo termine nell'equazione 3, otteniamo,

n esimo termine = a + (n – 1) * d

S n = (n/2) * {a + a + (n – 1) * d}

S n = (n/2) * {2a + (n – 1) * d}

Esempio

Se ti viene chiesto di trovare la somma dei primi 30 termini di una sequenza 5, 11, 17, 23, ……

Soluzione:

a = 5, d = a 2 – a 1 = 11 – 5 = 6

S n = (n/2) * {2a + (n – 1) * d}

S n = (30/2) * (2 * 5 + (35 – 1) * 6}

S n = (15) * (10 + 204)

S n = 15 * 214

Sn = 3210

Conclusione

In matematica, una progressione aritmetica è una serie di numeri in cui la differenza tra due termini consecutivi è sempre costante. Possiamo trovare molteplici esempi di progressione aritmetica nella nostra vita quotidiana. Ad esempio, i numeri di iscrizione degli studenti in un lotto, i mesi in un anno, ecc.

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