Pengantar Fungsi Kerapatan Probabilitas [Rumus, Properti, Aplikasi, Contoh]

Probability Density Function (PDF) adalah ekspresi dalam statistik yang menunjukkan distribusi probabilitas dari variabel acak diskrit. Distribusi probabilitas, secara sederhana, dapat didefinisikan sebagai kemungkinan hasil dari variabel acak seperti saham atau ETF. Variabel diskrit terjadi berbeda dengan variabel acak kontinu yang nilai akuratnya dapat ditentukan.

Misalnya, nilai scrip di pasar saham hanya memiliki dua titik desimal (misalnya, 65,76) dalam variabel acak diskrit, bukan variabel kontinu dengan sejumlah titik desimal (misalnya: 65,7685434567).

Fungsi kepadatan probabilitas adalah alat statistik yang digunakan untuk menentukan kemungkinan hasil dari variabel acak diskrit. Ketika diplot pada grafik, PDF terlihat identik dengan kurva lonceng di mana area di bawah kurva mewakili probabilitas hasil.

Ketika diproyeksikan sebagai model grafik, area di bawah kurva mewakili kisaran di mana nilai-nilai variabel acak diskrit akan jatuh. Jadi, luas total di bawah kurva sama dengan probabilitas hasil variabel.

Fungsi kepadatan probabilitas dapat menentukan kemungkinan variabel acak jatuh dalam rentang nilai tertentu.

Biasanya, fungsi kepadatan probabilitas menganalisis risiko dan potensi pendapatan yang terkait dengan dana tertentu di pasar saham.

Kondisi yang harus dipenuhi oleh suatu fungsi untuk dianggap sebagai Fungsi Kepadatan Probabilitas

Nilai variabel diskrit dapat diukur secara akurat berbeda dengan variabel kontinu yang dapat memiliki jumlah nilai tak terbatas. Setiap fungsi harus memenuhi dua kondisi di bawah ini untuk menjadi fungsi kepadatan probabilitas:

• Nilai f(x) untuk setiap kemungkinan nilai dari variabel acak harus positif (non-negatif).
• Nilai integral dari luas total kurva (integral dari semua nilai yang mungkin dari variabel acak) harus 1.

Perbedaan antara Fungsi Densitas Probabilitas dan Fungsi Distribusi Probabilitas

Variabel acak dapat memiliki banyak nilai. Deskripsi dari setiap kemungkinan nilai yang dapat dimiliki oleh variabel acak disebut distribusi probabilitasnya.

Distribusi probabilitas memberikan serangkaian hasil dan probabilitas terkaitnya. Fungsi statistik yang mewakili distribusi probabilitas kontinu dikenal sebagai fungsi kepadatan probabilitas.

Ada alat statistik lain yang mewakili distribusi probabilitas diskrit yang disebut fungsi massa probabilitas. Ini memberikan penjelasan rinci tentang semua hasil yang mungkin dan probabilitas kemungkinannya.

Ekspresi untuk Fungsi Kepadatan Probabilitas

Jika variabel acak diskrit, distribusi probabilitasnya disebut fungsi massa probabilitas, dan jika variabel kontinu, distribusi probabilitasnya disebut fungsi kepadatan probabilitas.

PDF digunakan ketika variabel acak yang dimaksud memiliki rentang nilai yang mungkin. Distribusi probabilitas mereka digunakan untuk menentukan nilai yang tepat.

Biarkan variabel acak dilambangkan dengan X. Fungsi kepadatan probabilitas, f dari variabel acak X dapat dinyatakan sebagai:

• Nilai variabel acak terletak di antara a dan b.
• Jika X menyatakan peluang terpilihnya bilangan tertentu dari selang (interval) r dan s, maka fungsi kerapatan peluang dapat dinyatakan sebagai

f ( x ) = 1/( s r ) untuk r < x < s dan f ( x ) = 0 untuk x < r atau x > s .

• PDF F direpresentasikan sebagai:

F ( x ) = P { X x }

yang disebut fungsi distribusi atau fungsi distribusi kumulatif dari X.

Mengingat variabel acak X memiliki fungsi distribusi probabilitas f ( x ), maka hubungan antara f dan F dapat ditentukan sebagai:

F (. x ) = f ( x )

Fungsi distribusi variabel acak diskrit berbeda dengan fungsi distribusi probabilitasnya. Hubungan antara keduanya dapat dinyatakan sebagai berikut:

Harapan dari variabel acak dilambangkan sebagai,

Dengan demikian, semua variabel diskrit dan acak dapat diperlakukan secara seragam dengan bantuan teori gabungan.

Rumus Fungsi Kerapatan Probabilitas

Probabilitas variabel acak kontinu X pada beberapa nilai tetap x selalu 0. Dalam kasus ini, P(X = x) tidak dapat digunakan. Nilai X yang terletak di antara rentang nilai (a,b) harus ditentukan. Untuk menentukannya digunakan rumus berikut.

Sifat-sifat Fungsi Kerapatan Probabilitas

Variabel acak kontinu yang nilainya berada di antara rentang (a,b), misalnya, akan diestimasi dengan menghitung luas di bawah kurva dan sumbu X yang diplot dengan (a) sebagai batas bawahnya dan (b) sebagai batas atas. Fungsi kepadatan probabilitas untuk di atas direpresentasikan sebagai:

Fungsi kepadatan probabilitas adalah positif (non-negatif) untuk semua nilai yang mungkin. Ini berarti f(x)≥ 0, untuk setiap x. Area yang jatuh di antara kurva kerapatan dan sumbu X (sumbu horizontal) sama dengan 1.

Ini juga dapat dilambangkan sebagai:

Kurva fungsi densitas kontinu di seluruh rentang yang diberikan, yang didefinisikan dengan jelas terhadap serangkaian nilai kontinu atau domain variabel.

Bergabunglah dengan Kursus Pembelajaran Mesin online dari Universitas top dunia – Magister, Program Pascasarjana Eksekutif, dan Program Sertifikat Tingkat Lanjut di ML & AI untuk mempercepat karier Anda.

Aplikasi Fungsi Kerapatan Probabilitas

• Fungsi kepadatan probabilitas digunakan dalam pemodelan tahunan tingkat konsentrasi NO atmosfer.
• Pemodelan pembakaran mesin diesel.
• Dalam statistik, fungsi kepadatan probabilitas digunakan untuk menentukan kemungkinan hasil dari variabel acak.

Contoh Fungsi Probabilitas Densitas

• Contoh 1

Di bawah ini adalah contoh bagaimana probability density function (PDF) digunakan untuk menentukan potensi risiko seorang investor di pasar saham:

Pertama, PDF dihasilkan sebagai alat grafis berdasarkan informasi historis.

Bentuk PDF yang paling umum adalah proyeksi netral, di mana risikonya sama dengan imbalan di berbagai kemungkinan. Investor dengan kemampuan mengambil risiko yang lebih rendah hanya akan dihargai dengan keuntungan terbatas, dan karenanya mereka berada di bawah sisi kiri kurva lonceng. Sebaliknya, investor dengan kemampuan pengambilan risiko yang tinggi kemungkinan besar akan dihargai dengan hasil yang lebih tinggi, dan oleh karena itu, jatuh di bawah sisi kanan kurva.

Sebagian besar investor jatuh di bawah kemampuan pengambilan risiko rata-rata, dan karenanya mereka menempati bagian tengah kurva.

Ini membantu dalam menganalisis kategori investor berdasarkan data yang diterima. Ini membantu pialang pasar saham untuk mengidentifikasi kategori target pelanggan mereka untuk menjual produk mereka.

• Contoh 2

Salah satu aplikasi penting dari fungsi kepadatan probabilitas adalah variabel acak Gaussian, juga dikenal sebagai variabel acak normal.

Dalam kedua kasus, grafik memberikan kurva lonceng untuk fungsi kepadatan probabilitas.

Kepadatan dapat dinyatakan sebagai

Grafik persamaan kepadatan di atas diberikan di bawah ini.

Area di bawah kurva mewakili nilai sebenarnya dari variabel acak Gaussian.

Kesimpulan

Fungsi kepadatan probabilitas memainkan peran penting dalam pembelajaran mesin. Untuk siswa yang ingin berkarir di Pembelajaran Mesin dan Kecerdasan Buatan, kami sangat menyarankan untuk mendaftar di Program Sertifikat Tingkat Lanjut IIT dalam Pembelajaran Mesin upGrad . Program ini disesuaikan dan dirancang untuk membekali pekerja profesional senior untuk menerapkan model pembelajaran mesin menggunakan teknologi komputasi awan.

Kurikulum dirancang oleh fakultas dari IIT Madras dan pakar industri untuk membuat proses pembelajaran lebih relevan dan praktis. Program ini menawarkan sertifikasi yang diakui secara global dari perguruan tinggi Teknik yang didambakan dan peringkat No. 1 di India dan dukungan penempatan 360 derajat dari upGrad.

Terlebih lagi, Anda mendapatkan banyak peluang untuk berkolaborasi dalam proyek skala besar dengan basis pelajar berbayar upGrad sebanyak 40.000+.

Kunjungi situs web kami untuk memulai perjalanan belajar Anda!