Permutasi vs Kombinasi: Perbedaan antara Permutasi dan Kombinasi

Kombinatorik – bidang Matematika yang berkaitan dengan penghitungan, pengaturan, permutasi, dan kombinasi – seringkali merupakan salah satu bidang yang paling membingungkan. Namun, ini membentuk dasar dari seluruh domain Probabilitas dan pada akhirnya memainkan peran penting dalam Pembelajaran Mesin dan Kecerdasan Buatan. Karena alasan tersebut, Permutasi dan Kombinasi merupakan topik yang perlu dikuasai sebelum melangkah lebih jauh.

Salah satu kebingungan utama yang bertindak sebagai penghalang jalan adalah perbedaan antara permutasi dan kombinasi. Oleh karena itu, kami akan melihat secara mendalam definisi dan fitur utama dari Permutasi dan Kombinasi. Ini akan menjelaskan bagaimana kedua istilah ini berbeda dan mana yang harus diterapkan dalam skenario mana.

Mari kita mulai!

Apa itu Permutasi dan Kombinasi – Perbedaan Diantaranya

Mari kita coba memahami istilah-istilah penting ini menggunakan beberapa contoh. Misalkan Anda ingin memesan salad untuk makan siang. Salad pilihan Anda mungkin campuran tomat, wortel, lobak, dan bit. Sekarang, Anda tidak peduli dengan urutan sayuran individu ini ditambahkan ke salad Anda selama semuanya ada. Yang Anda pedulikan hanyalah memiliki semua sayuran yang dibutuhkan di mangkuk salad Anda. Salad bisa terdiri dari "tomat, wortel, lobak, dan bit" atau "tomat, wortel, bit, dan lobak". Kedua skenario idealnya akan sama untuk Anda – sebagai konsumen salad.

Bergabunglah denganKursus Pembelajaran Mesin secara online dari Universitas top Dunia – Magister, Program Pascasarjana Eksekutif, dan Program Sertifikat Lanjutan dalam ML & AI untuk mempercepat karier Anda.

Dimulai dengan Permutasi

Sekarang, mari kita ubah sedikit contoh dan pikirkan tentang PIN Kartu Debit Anda. Jika PIN Anda adalah 7986, itu adalah kumpulan angka 7, 8, 9, dan 6. Namun, dalam hal ini, tidak semua susunan angka tersebut akan menjadi pin Anda. Hanya satu urutan tertentu – 7896 – yaitu PIN Anda. Dalam hal ini, urutannya sangat penting.

Permutasi persis seperti detail PIN Anda – urutannya sangat penting. Detail penting untuk permutasi. Untuk permutasi, 6/8/9 sama sekali berbeda dari 9/6/8, yang berbeda dari 8/6/9 dan seterusnya. Oleh karena itu, untuk permutasi, urutan entitas harus dipertahankan dengan cara apa pun.

Jadi, untuk mendefinisikannya dalam pengertian yang lebih teknis – Permutasi adalah proses pemilihan item yang berbeda di mana urutan pemilihan penting. Ini dapat digambarkan sebagai jumlah cara mengatur beberapa atau semua item dari suatu himpunan.

Misalnya, pertimbangkan himpunan – {a, b, c}. Dalam hal ini, semua permutasi elemen adalah sebagai berikut:

• abc
• acb
• bac
• bca
• taksi
• cba

Kasus Permutasi Khusus

Ada dua kasus khusus Permutasi yang harus Anda ingat:

1. Dengan Pengulangan

Permutasi untuk 'k' sesuatu dari total 'n' jenis yang berbeda dapat dikatakan n*n*n*…k kali.

Alasannya sederhana – ketika suatu benda memiliki n jenis yang berbeda… Anda memiliki 'n' jumlah pilihan setiap saat.

Misal: pilih 3 hal tersebut, maka permutasinya adalah:

n × n × n

(n dikalikan 3 kali)

Lebih umum: memilih 'n' dari sesuatu yang memiliki tipe 'k' berbeda, permutasinya adalah:

n × n × … (k kali)

2. Tanpa Pengulangan

Tanpa Pengulangan, pilihan tidak akan tetap 'n' setiap saat. Sebaliknya, nilainya terus menurun dengan setiap pilihan yang Anda buat. Berikut adalah contoh untuk memahami ini dengan lebih baik:

Coba pikirkan jumlah 4 kartu berbeda yang dibuat dari setumpuk kartu?

Sekarang, untuk kartu pertama, Anda memiliki opsi untuk memilih salah satu dari 52 kartu. Jadi, Anda memiliki 52 pilihan. Setelah Anda membuat pilihan pertama, Anda tidak dapat mengambil kartu yang sama lagi, sehingga pilihan untuk slot berikutnya menjadi 51. Demikian pula, setiap pengundian berikutnya akan menghasilkan lebih sedikit pilihan dari Anda daripada sebelumnya. Rumus ini dapat digeneralisasikan sebagai:

Untuk menggeneralisasi ini, rumus untuk permutasi yang berbeda dari 'k' objek yang berbeda dari grup 'n' objek yang berbeda dapat diberikan sebagai:

P(n,k) = nPk = n! / (n−k)!

Di mana nPk adalah jumlah permutasi dari 'k' objek yang berbeda dari sekumpulan 'n' objek yang berbeda, dan n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*…. .

Pindah dari Permutasi – sekarang ke Kombinasi

Kombinasi dapat dipahami sebagai teknik untuk menentukan jumlah kemungkinan pengaturan yang berbeda dalam satu set elemen yang berbeda – di mana urutan pemilihan tidak relevan. Sebagai kombinasi, Anda dapat memilih item dalam urutan apa pun – ingat contoh mangkuk salad Anda sebelumnya.

Oleh karena itu, kombinasi hanyalah cara memilih item yang berbeda dari koleksi massal sehingga urutannya tidak penting. Untuk memahami ini dengan lebih baik, ambil contoh berikut:

Misalkan kita memiliki tiga digit – 1, 2, 3 – dan kita ingin membuat angka tiga digit. Angka yang mungkin adalah 123, 213, 132, 231, 312, dan 321. Dengan menggunakan kombinasi, kita dapat menemukan banyaknya cara 1, 2, 3 dapat ditempatkan dalam urutan tertentu dengan lebih mudah. Kombinasi adalah pemilihan k benda dari kumpulan n benda tanpa penggantian dan dapat ditulis secara matematis dengan cara berikut:

C(n,k) = nKk = n! / k! * (n−k)!

Mari kita pahami rumus ini dengan lebih baik menggunakan contoh. Coba cari tahu banyaknya cara seorang pelatih dapat memilih tiga perenang dari suatu kelompok yang terdiri dari 6 perenang.

Menggunakan rumus:

nCk = n! / k! * (n−k)!

Dalam soal kita, nilai n adalah 6, dan nilai k adalah 3. Menyimpannya dalam rumus, kita mendapatkan:

C(6,3) = 6! / 3!*2! = 60 => Pelatih dapat memilih 3 perenang dari 6 perenang dalam 60 cara berbeda.

Beberapa Contoh Umum Permutasi dan Kombinasi

Mari kita lihat beberapa contoh sehari-hari untuk membantu Anda memahami perbedaan antara permutasi dan kombinasi dengan cara yang lebih baik. Melalui contoh-contoh ini, Anda akan dapat menemukan perbedaan antara kedua teknik ini dengan mudah.

1. Permutasi

• Menyusun orang, angka, huruf, angka, sayuran, atau warna yang berbeda.
• Memilih kapten tim dari tim yang terdiri dari 11 pemain.
• Memilih tiga warna favorit dari beberapa warna yang berbeda.
• Pemilihan pemenang pertama, kedua dan ketiga.

2. Kombinasi

• Memilih menu makanan, pakaian dari daftar, mata pelajaran untuk kursus, dll.
• Memilih jumlah orang yang berbeda dari sekelompok orang.
• Memilih dua warna dari buku warna.
• Hanya memilih empat pemenang.

Hubungan Antara Permutasi dan Kombinasi

Permutasi dan Kombinasi pada dasarnya merujuk pada berbagai cara di mana objek dari suatu himpunan dapat dipilih - baik dengan atau tanpa Pengulangan - untuk membentuk subjek baru. Jadi, kedua konsep ini dapat dipahami sebagai menghitung jumlah himpunan bagian untuk himpunan tertentu. Pemilihan himpunan bagian ini disebut permutasi jika urutan pemilihannya penting dan kombinasi jika urutannya tidak terlalu penting.

Dalam pengertian yang lebih matematis, permutasi dan kombinasi saling terkait erat. Kombinasi hanyalah penghitungan pilihan berbeda yang dapat dibuat dari n objek. Di sisi lain, permutasi adalah menghitung jumlah susunan yang berbeda dari n objek.

Jika Anda melihat lebih dekat pada dua rumus Permutasi dan Kombinasi di bawah ini, Anda akan dapat memperoleh hubungan matematis antara keduanya sendiri. Periksa:

• nPr = n!/(nr)!
• nCr = n!/[r! (nr)!]

=> nPr = nCr / r!

=> nCr = r! * NPR

Persamaan yang disebutkan di atas adalah hubungan matematis antara permutasi dan kombinasi.

Perbedaan antara Permutasi dan Kombinasi

Berikut adalah tabel yang akan membuat perbedaan mendasar antara permutasi dan kombinasi menjadi lebih mudah dipahami.

Mari pahami perbedaan antara permutasi dan kombinasi dengan contoh untuk memberi Anda gambaran tentang bagaimana kami menggunakannya dalam kehidupan nyata.

• Membentuk tim untuk sebuah permainan: Kami sering menggunakan kombinasi untuk menentukan berapa banyak kemungkinan tim yang dapat dibentuk dari sekelompok besar pemain untuk memastikan distribusi yang adil.
• Pengaturan tempat duduk untuk suatu acara: Anda dapat menggunakan rumus permutasi untuk menentukan jumlah kemungkinan pengaturan tempat duduk untuk acara formal atau denah tempat duduk resmi.
• Kombinasi saat membentuk kepanitiaan: Anda dapat menerapkan kombinasi untuk mengetahui kemungkinan pembentukan kepanitiaan dengan memilih beberapa individu dari kelompok yang lebih besar.
• Membuat kata sandi: Kita juga dapat menggunakan permutasi untuk menghitung jumlah kemungkinan kata sandi yang dapat dibentuk menggunakan serangkaian angka, simbol, dan huruf tertentu.

Poin untuk Diingat

• Kombinasinya adalah sejumlah cara Anda dapat memilih subkumpulan objek dari kumpulan yang lebih besar tanpa mempertimbangkan urutannya. Sementara permutasi adalah berbagai cara Anda dapat mengatur sekumpulan objek dalam urutan tertentu.
• Jika nilai n dan k sama, maka jumlah permutasi akan selalu melebihi jumlah kombinasi.
• Karena urutan tidak menjadi masalah saat menghitung kombinasi, hasil pemilihan k objek yang sama dari himpunan n elemen akan selalu sama.
• Karena urutan sangat penting dalam permutasi, bahkan jika Anda memilih k objek yang sama dari kumpulan n objek, hasilnya akan berbeda tergantung pada urutan pemilihan.

Kesimpulannya

Dengan itu, kita sampai pada akhir posting blog ini tentang perbedaan antara Permutasi dan Kombinasi. Perlu diingat bahwa bidang Kombinatorik sangat luas dan menjadi dasar dari banyak bidang penting matematika lainnya – terutama jika menyangkut bidang aplikatif seperti Probabilitas atau Pembelajaran Mesin. Apa yang telah kita bahas dalam artikel ini hanyalah perbedaan mendasar antara Permutasi dan Kombinasi. Namun, dengan pengetahuan ini di sisi Anda, Anda dapat dengan mudah mengatasi semua kebingungan yang umumnya dihadapi siswa saat menyelesaikan masalah seputar PnC.

Jika Anda memahami semua yang ada di artikel ini, kami menyarankan Anda untuk menyelam lebih dalam dan membiasakan diri dengan nuansa kombinatorik lainnya. Jika Anda tidak terlalu memahami artikelnya – silakan tanyakan keraguan Anda di komentar di bawah.

Di upGrad, kami telah melatih para profesional baru dan berpengalaman serta telah berhasil membantu ribuan siswa di seluruh dunia menghadapi ketakutan mereka dan mengubah karier mereka. Kursus kami dalam Pembelajaran Mesin dan Kecerdasan Buatan dirancang dengan mempertimbangkan siswa baru. Jadi, semua matematika penting, statistik, perhitungan diajarkan kepada siswa dengan cara yang paling praktis. Salah satu kursus tersebut adalah Program PG Eksekutif dalam Pembelajaran Mesin, dan AI ditawarkan bekerja sama dengan IIIT-B. Lihat detail kursus dan daftarkan diri Anda hari ini!