Distribution de Poisson et processus de Poisson expliqués [avec exemples]

La distribution de Poisson est un sujet relevant de la théorie des probabilités et des statistiques couramment utilisées par les entreprises et sur le marché du commerce. Il est utilisé pour prédire la quantité de variation à partir d'un taux moyen d'occurrence donné dans un laps de temps. Ceci est expliqué en détail dans les sections suivantes.

Processus de Poisson

Le processus de Poisson est un processus stochastique largement utilisé pour modéliser la série d'événements discrets qui se produisent lorsque la moyenne des événements est connue, mais les événements se produisent au hasard. Étant donné que les événements se produisent au hasard, ils peuvent se produire les uns après les autres ou il peut s'écouler beaucoup de temps entre deux événements.

Le temps moyen des événements est seulement constant. Ainsi, par exemple, si l'on sait que dans une ville donnée, un tremblement de terre frappe en moyenne quatre fois par an ; cela pourrait signifier que quatre tremblements de terre pourraient se produire sur quatre jours consécutifs en un an, ou le temps entre deux des tremblements de terre pourrait être de sept mois.

C'est le processus de Poisson, et la probabilité de chaque événement peut être calculée.

Il est important qu'un processus de Poisson réponde aux critères suivants :

• Les événements doivent être indépendants les uns des autres. Ainsi, l'occurrence d'un événement ne devrait pas affecter la probabilité qu'un autre événement se produise.

• Le taux moyen des événements, c'est-à-dire les événements par période de temps, est constant.

• Deux événements ne doivent pas se produire en même temps.

Lire : Distribution de probabilité

Loi de Poisson

Nommée d'après le mathématicien français Siméon Denis Poisson, la distribution de Poisson est une distribution de probabilité discrète utilisée pour prédire la probabilité que des événements particuliers se produisent lorsque le taux moyen de l'événement est connu. Dans l'exemple ci-dessus, la distribution de Poisson peut être utilisée pour prédire la probabilité qu'un tremblement de terre se produise à un moment donné de l'année.

Il peut également être utilisé pour prédire l'occurrence de l'événement dans divers autres intervalles spécifiés comme la surface, le volume ou la distance.

La fonction de masse de probabilité de distribution de Poisson fournit la probabilité d'observer k événements dans une période de temps lorsque la durée donnée de la période et les événements moyens par temps sont donnés. La formule est la suivante :

P (k événements dans l'intervalle) = e-λ * λk/k !

Ici λ, lambda, est le paramètre de taux, k est le nombre de fois qu'un événement se produit pendant la période de temps, e est le nombre d'Euler, et k ! est la factorielle de k.

À l'aide d'un exemple simple, nous pouvons voir comment la probabilité peut être calculée. Si le nombre moyen de tremblements de terre frappant une ville est de 2 par an, calculons la probabilité que 3 tremblements de terre frappent la ville l'année prochaine.

Ici, k vaut 3, λ vaut 2 et e est le nombre d'Euler, c'est-à-dire 2,71828. En insérant ces valeurs dans l'équation ci-dessus, nous obtenons P égal à 0,180. Cela signifie que la probabilité est de 18 %. Nous pouvons conclure que la probabilité que la ville soit frappée par 3 tremblements de terre l'année prochaine est de 18 %.

Propriétés de la distribution de Poisson

• La moyenne d'une variable aléatoire distribuée de Poisson est λ. C'est aussi la valeur attendue.
• La variance d'une variable aléatoire distribuée de Poisson est également la même que la moyenne, λ.
• Le nombre d'essais dans une distribution de Poisson peut être extrêmement élevé. Ainsi, il peut être proche de l'infini.
• La probabilité constante de succès dans chaque essai est minime. Il est donc proche de zéro.
• Comme la distribution de Poisson est caractérisée par un seul paramètre λ, elle est également appelée distribution uni-paramétrique.
• Semblable à la distribution binomiale, la distribution de Poisson peut être unimodale ou bimodale, selon le paramètre de taux, λ. S'il s'agit d'un nombre non entier, la distribution sera unimodale, et s'il s'agit d'un nombre entier, elle sera bimodale.

Exemples de loi de Poisson

Il existe de nombreux secteurs où la distribution de Poisson peut être utilisée pour prédire les probabilités d'un événement. Il est utilisé dans de nombreux domaines scientifiques et est également populaire dans le secteur des affaires. Quelques-uns des exemples sont indiqués ci-dessous.

1. Vérification de la quantité d'un produit nécessaire tout au long d'une année. Si une entreprise/un supermarché/un magasin connaît la quantité moyenne de produits utilisés au cours d'une année par ses clients, il peut utiliser le modèle de distribution de Poisson pour prédire au cours de quel mois le produit se vend le plus. Cela peut les aider à stocker la quantité requise de produit et à éviter leurs pertes.

2. Vérification de la dotation en personnel du service client. Si l'entreprise peut calculer le nombre moyen d'appels par jour nécessitant plus de quinze minutes à traiter, elle peut utiliser le modèle pour prédire le nombre maximal d'appels par heure nécessitant plus de quinze minutes. En calculant cela, ils peuvent évaluer s'ils ont besoin de plus de personnel.

3. Il peut être utilisé pour prédire la probabilité d'occurrence d'inondations, de tempêtes et d'autres catastrophes naturelles. Cela peut être possible si le nombre moyen de ces catastrophes par an est connu. Grâce à ces prévisions, ainsi qu'à d'autres applications technologiques, il est possible d'éviter des pertes humaines et matérielles pour de nombreux pays ou régions.

4. Il peut également être utilisé dans les secteurs financiers, mais ceux-ci ne sont pas nécessairement toujours précis. Cela peut aider à fournir une estimation de la probabilité de hausse ou de baisse des marchés boursiers à un moment donné.

5. Le modèle de distribution de Poisson peut également être utilisé en physique, en biologie, en astronomie, etc. pour prédire la probabilité que des météorites pénètrent dans l'atmosphère terrestre et soient visibles dans des régions particulières du monde.

Conclusion

Sujet populaire en statistique, la distribution de Poisson a été expliquée en détail dans différentes sections de cet article. C'est un sujet important à comprendre pour les étudiants et les professionnels intéressés par l'apprentissage des statistiques et des probabilités.

Le modèle peut être utilisé dans la vie réelle et dans divers sujets comme la physique, la biologie, l'astronomie, les affaires, la finance, etc., pour estimer la probabilité qu'un événement se produise comme mentionné dans les exemples. Des sujets similaires en statistiques, science des données, apprentissage automatique, etc. peuvent être trouvés sur upGrad, ce qui vous aidera à élargir votre apprentissage et à appliquer ces concepts à divers problèmes.

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