Permutation vs combinaison : Différence entre permutation et combinaison

La combinatoire - le domaine des mathématiques qui traite du comptage, des arrangements, des permutations et des combinaisons - est souvent l'un des domaines les plus déroutants. Cependant, il constitue la base de tout le domaine des probabilités et joue finalement un rôle crucial dans l'apprentissage automatique et l'intelligence artificielle. Pour ces raisons, les permutations et les combinaisons sont un sujet qui doit être maîtrisé avant d'aller plus loin.

L'une des principales confusions qui agissent comme un barrage routier est la différence entre les permutations et les combinaisons. Pour cette raison, nous examinerons en profondeur les principales définitions et caractéristiques des permutations et des combinaisons. Cela expliquera en quoi ces deux termes diffèrent et lequel doit être appliqué dans quel scénario.

Commençons!

Que sont les permutations et les combinaisons - les différences entre elles

Essayons de comprendre ces termes cruciaux à l'aide de quelques exemples. Supposons que vous vouliez commander une salade pour le déjeuner. Votre salade préférée peut être un mélange de tomates, de carottes, de radis et de betterave. Maintenant, vous ne vous souciez pas de l'ordre dans lequel ces légumes individuels sont ajoutés à votre salade tant qu'ils sont tous là. Tout ce qui vous importe, c'est d'avoir tous les légumes nécessaires dans votre saladier. La salade peut être composée de « tomates, carottes, radis et betteraves » ou de « tomates, carottes, betteraves et radis ». Les deux scénarios seront idéalement les mêmes pour vous - en tant que consommateur de salade.

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Commencer par la permutation

Maintenant, changeons un peu l'exemple et pensons au code PIN de votre carte de débit. Si votre code PIN est 7986, il s'agit d'un ensemble de chiffres 7, 8, 9 et 6. Cependant, dans ce cas, toutes les dispositions de ces chiffres ne seront pas votre code PIN. C'est juste une séquence spécifique - 7896 - qui est votre code PIN. Dans ce cas, la commande est indispensable.

Les permutations sont exactement comme vos détails PIN - l'ordre est extrêmement important. Les détails sont importants pour les permutations. Pour une permutation, 6/8/9 est entièrement différent de 9/6/8, qui est différent de 8/6/9 et ainsi de suite. Pour les permutations, donc, l'ordre des entités doit être préservé à tout prix.

Donc, pour le définir dans un sens un peu plus technique - La permutation est un processus de sélection de différents éléments où l'ordre de sélection est important. Il peut être décrit comme le nombre de façons d'arranger certains ou tous les éléments d'un ensemble donné.

Par exemple, considérons un ensemble – {a, b, c}. En cela, toutes les permutations des éléments sont les suivantes :

• abc
• acb
• bac
• bca
• taxi
• ABC

Cas particuliers de permutations

Il existe deux cas particuliers de permutations que vous devez garder à l'esprit :

1. Avec répétition

On peut dire que les permutations pour 'k' de quelque chose d'un total de 'n' types différents sont n*n*n*…k fois.

La raison en est simple – lorsqu'une chose a n types différents… vous avez 'n' nombre de choix à chaque fois.

Par exemple : en choisissant 3 de ces choses, les permutations sont :

n × n × n

(n multiplié 3 fois)

Plus généralement : en choisissant 'n' de quelque chose qui a 'k' types différents, les permutations sont :

n × n × … (k fois)

2. Sans répétition

Sans Répétition, les choix ne resteront pas 'n' à chaque fois. Au lieu de cela, les valeurs continuent de diminuer à chaque choix que vous faites. Voici un exemple pour mieux comprendre cela :

Essayez de penser au nombre de mains différentes de 4 cartes faites à partir d'un jeu de cartes ?

Maintenant, pour la première carte, vous avez la possibilité de sélectionner l'une des 52 cartes. Donc, vous avez 52 choix. Une fois que vous avez fait votre premier choix, vous ne pouvez plus choisir la même carte, donc les choix pour le prochain emplacement deviennent 51. De même, chaque tirage suivant entraînera moins de choix de votre part qu'auparavant. Cette formule peut être généralisée comme suit :

Pour généraliser cela, la formule des différentes permutations de 'k' objets différents à partir d'un groupe de 'n' objets différents peut être donnée comme suit :

P(n,k) = nPk = n! / (n−k) !

Où nPk est le nombre de permutations de 'k' objets différents à partir d'un ensemble de 'n' objets différents, et n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*…. .

Passer des permutations - maintenant aux combinaisons

Une combinaison peut être comprise comme une technique pour déterminer le nombre d'arrangements différents possibles dans un ensemble d'éléments différents - où l'ordre de sélection n'est pas pertinent. En combinaison, vous pouvez sélectionner les articles dans n'importe quel ordre - rappelez-vous notre exemple précédent de votre saladier.

Par conséquent, la combinaison est simplement le moyen de sélectionner différents articles dans une collection en vrac afin que la commande ne soit pas importante. Pour mieux comprendre, prenons l'exemple suivant :

Supposons que nous ayons trois chiffres - 1, 2, 3 - et que nous voulions créer un nombre à trois chiffres. Les nombres possibles sont 123, 213, 132, 231, 312 et 321. En utilisant des combinaisons, nous pouvons trouver le nombre de façons dont 1, 2, 3 peuvent être placés plus facilement dans un ordre particulier. Une combinaison est la sélection de k choses à partir d'une collection de n choses sans aucun remplacement et peut être écrite mathématiquement de la manière suivante :

C(n,k) = nCk = n! / k ! * (n−k) !

Comprenons mieux cette formule à l'aide d'un exemple. Essayez de trouver le nombre de façons dont un entraîneur peut choisir trois nageurs dans un groupe de 6 nageurs.

En utilisant la formule :

nCk = n! / k ! * (n−k) !

Dans notre question, la valeur de n est 6 et la valeur de k est 3. En gardant cela dans la formule, nous obtenons :

C(6,3) = 6 ! / 3!*2! = 60 => L'entraîneur peut choisir 3 nageurs parmi un ensemble de 6 nageurs de 60 manières différentes.

Quelques exemples courants de permutations et de combinaisons

Examinons quelques exemples quotidiens pour vous aider à mieux comprendre les différences entre les permutations et les combinaisons. Grâce à ces exemples, vous pourrez facilement repérer les différences entre ces deux techniques.

1. Permutations

• Disposer différentes personnes, nombres, alphabets, chiffres, légumes ou couleurs.
• Sélection d'un capitaine d'équipe parmi une équipe de 11 joueurs.
• Choisir trois couleurs préférées parmi plusieurs couleurs différentes.
• Sélection des premier, deuxième et troisième gagnants.

2. Combinaisons

• Sélection du menu alimentaire, des vêtements à partir d'une liste, des sujets pour les cours, etc.
• Choisir un nombre différent de personnes dans un groupe de personnes.
• Choisir deux couleurs dans un livre de couleurs.
• Sélection de quatre gagnants seulement.

Relation entre permutation et combinaison

Les permutations et les combinaisons font essentiellement référence aux différentes manières dont les objets d'un ensemble peuvent être sélectionnés - avec ou sans répétition - pour former de nouveaux sujets. Ainsi, ces deux concepts peuvent être compris comme comptant le nombre de sous-ensembles pour un ensemble donné. Cette sélection de sous-ensembles est appelée permutation lorsque l'ordre de sélection est important et une combinaison lorsque l'ordre n'est pas si important.

Dans un sens plus mathématique, la permutation et la combinaison sont étroitement liées l'une à l'autre. La combinaison est simplement le comptage des différentes sélections qui peuvent être faites à partir de n objets. D'autre part, la permutation consiste à compter le nombre d'arrangements différents à partir de n objets.

Si vous regardez attentivement les deux formules ci-dessous de permutation et de combinaison, vous serez en mesure de dériver vous-même une relation mathématique entre les deux. Vérifie ça:

• nPr = n!/(nr)!
• nCr = n!/[r! (nr) !]

=> nPr = nCr / r !

=> nCr = r ! * Radio Nationale Publique

L'équation mentionnée ci-dessus est la relation mathématique entre la permutation et la combinaison.

Différence entre permutation et combinaison

Voici un tableau qui facilitera la compréhension des différences fondamentales entre permutation et combinaison.

Comprenons la différence entre la permutation et la combinaison avec l'exemple pour vous donner une idée de la façon dont nous les utilisons dans la vraie vie.

• Former une équipe pour un jeu : nous utilisons souvent des combinaisons pour déterminer combien d'équipes possibles pourraient être formées à partir d'un grand groupe de joueurs afin d'assurer une répartition équitable.
• Disposition des sièges pour un événement : vous pouvez utiliser la formule de permutation pour déterminer le nombre de dispositions de sièges possibles pour les événements formels ou les plans de sièges officiels.
• Combinaison lors de la formation de comités : Vous pouvez appliquer des combinaisons pour connaître la possibilité de former un comité en sélectionnant quelques personnes dans un groupe plus large.
• Création d'un mot de passe : nous pouvons également utiliser des permutations pour calculer le nombre de mots de passe possibles pouvant être formés à l'aide d'un ensemble donné de chiffres, de symboles et d'alphabets.

Points à retenir

• La combinaison est le nombre de façons dont vous pouvez sélectionner un sous-ensemble d'objets à partir d'un ensemble plus vaste sans tenir compte de l'ordre. Alors que la permutation est le nombre différent de façons dont vous pouvez organiser un ensemble d'objets dans un ordre spécifique.
• Si les valeurs n et k sont identiques, le nombre de permutations dépassera toujours le nombre de combinaisons.
• Étant donné que l'ordre n'a pas d'importance lors du calcul des combinaisons, le résultat du choix des mêmes k objets dans un ensemble de n éléments sera toujours le même.
• L'ordre étant essentiel dans la permutation, même si vous choisissez les mêmes k objets parmi un ensemble de n objets, le résultat sera différent selon l'ordre de sélection.

En conclusion

Avec cela, nous arrivons à la fin de cet article de blog sur les différences entre la permutation et la combinaison. Gardez à l'esprit que le domaine de la combinatoire est exceptionnellement vaste et constitue la base de nombreux autres domaines vitaux des mathématiques, en particulier lorsqu'il s'agit de domaines applicatifs tels que les probabilités ou l'apprentissage automatique. Ce dont nous avons discuté dans l'article, ce ne sont que les différences fondamentales entre la permutation et la combinaison. Cependant, avec ces connaissances à vos côtés, vous pouvez facilement résoudre toutes les confusions auxquelles les étudiants sont généralement confrontés lors de la résolution de problèmes autour de PnC.

Si vous avez tout compris dans cet article, nous vous recommandons d'approfondir et de vous familiariser avec d'autres nuances de combinatoire. Si vous n'avez pas trop bien compris l'article, veuillez poser vos doutes dans les commentaires ci-dessous.

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