La probabilité conditionnelle expliquée avec des applications réelles

Qu'est-ce que la probabilité conditionnelle ?

La probabilité conditionnelle, dans la théorie des probabilités, est définie comme la mesure de la probabilité qu'un événement se produise, en supposant qu'un autre événement ou résultat s'est déjà produit. Il est exprimé comme la multiplication de la probabilité de l'événement survenu précédemment par la probabilité de l'événement conditionnel qui s'est produit successivement.

Donc, si nous avons des événements A et B où P(B)>0, nous calculons la probabilité conditionnelle de A lorsque B s'est déjà produit, P(A | B) comme

P(A | B)=P(A∩B)P(B)

• | est utilisé pour désigner "donné" dans "les cas où un autre événement se produit"
• ∩ est utilisé pour désigner l'intersection

Lors du calcul de la probabilité conditionnelle, on suppose que nous sommes conscients du résultat de l'événement B. Ceci est particulièrement utile car les informations sur le résultat d'une expérience sont souvent inconnues.

Comprenons cela avec un exemple:

• Nous avons un événement A où nous supposons qu'une personne qui a postulé à une université sera acceptée. La probabilité qu'ils soient acceptés est de 70 %.
• Nous avons un autre événement B où il y a 50% de chances que les étudiants acceptés se voient attribuer un logement en dortoir.

Par conséquent, nous calculons la probabilité conditionnelle comme,

Probabilité (Étudiants Acceptés et Dortoir Attribué) = P (Dortoir Attribué | Étudiants Acceptés) × P (Étudiants Acceptés)

= (0,50)*(0,70) = 0,35

Avec la probabilité conditionnelle, nous examinons les deux événements A et B, leur relation l'un avec l'autre où un étudiant est à la fois accepté à l'université et se voit attribuer un dortoir.

En revanche, la probabilité inconditionnelle est définie comme la mesure de la probabilité qu'un événement se produise, qu'il soit précédé d'un autre événement ou que d'autres conditions soient données.

Applications réelles de la probabilité conditionnelle

La probabilité conditionnelle trouve une large utilisation dans différents domaines tels que l'assurance et le calcul. Il est également applicable en politique. Supposons qu'il y ait une réélection prévue d'un président. Les résultats dépendront des préférences des électeurs et de la probabilité de résultat des campagnes publicitaires télévisées.

Dans un autre exemple, supposons que la probabilité de pluie dans votre région soit de 40 %, comme spécifié par la météo. Cependant, ce résultat dépend en grande partie :

• Si des nuages ​​se forment dans votre région
• S'il y a la possibilité qu'un front froid arrive dans votre région
• Si les nuages ​​sont repoussés par un autre front

La probabilité conditionnelle dépendra de chacun des événements ci-dessus.

Théorème de Bayes

Introduit par le mathématicien Thomas Bayes, le théorème de Bayes ou la règle de Bayes ou la loi de Bayes est une équation mathématique qui aide à calculer la probabilité conditionnelle. En utilisant le théorème de Bayes, nous pouvons réviser (mettre à jour) les mesures de probabilité existantes lorsque de nouvelles preuves ou des informations supplémentaires apparaissent.

Le théorème de Bayes trouve une utilisation dans la finance où les comptables l'utilisent pour déterminer le risque de prêter de l'argent à un emprunteur. En plus de cela, il est également utile dans les statistiques et la logique inductive.

Les statistiques bayésiennes sont basées sur le théorème de Bayes où il est possible de prédire des événements sur la base de nouvelles preuves, conduisant ainsi à des estimations plus dynamiques et précises.

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Exemple de probabilité conditionnelle avec Python

Dans cet exemple, nous utiliserons la probabilité conditionnelle pour déterminer la probabilité qu'un étudiant obtienne une note A (80 %+) en physique, à condition qu'il saute un minimum de 10 cours.

Pour commencer, inspectez le jeu de données que vous téléchargez depuis kaggle :

importer des pandas en tant que pd

df = pd.read_csv('student-alcool-consumption/student-mat.csv')

df.tête(3)

Parcourez le nombre d'enregistrements :

len(df)

#=> 395

Nous ne prendrons en compte que les colonnes suivantes : le nombre d'absences et les notes finales.

Maintenant, créez une nouvelle colonne booléenne grade_A pour indiquer si la note finale d'un élève est de 80 % ou plus.

Multipliez par 5 :

df['grade_A'] = np.where(df['G3']*5 >= 80, 1, 0)

Créez une nouvelle colonne booléenne high_absenses ayant la valeur 1 indiquant les étudiants qui ont manqué un minimum de 10 cours.

df['absenses_élevées'] = np.where(df['absences'] >= 10, 1, 0)

Créez une autre colonne afin que nous puissions facilement créer un tableau croisé dynamique :

df['count'] = 1

Supprimez toutes les autres colonnes :

df = df[['grade_A','high_absenses','count']]

df.head()

Construire un tableau croisé dynamique :

pd.pivot_table(

df,

valeurs='compte',

index=['grade_A'],

colonnes=['high_absenses'],

aggfunc=np.taille,

fill_value=0

)

Maintenant, nous pouvons procéder à notre calcul :

• P(A) indique la probabilité qu'un élève obtienne une note A (80 % ou plus).
• P(B) est la probabilité qu'un élève ait manqué au moins 10 cours.
• P(A|B) est la probabilité qu'un élève ait obtenu une note supérieure à 80 %, étant donné qu'il a manqué au moins 10 cours.

P(A) = (35 + 5) / (35 + 5 + 277 + 78) = 0,10126…

P(B) = (78 + 5) / (35 + 5 + 277 + 78) = 0,21012…

P(A ∩ B) = 5 / (35 + 5 + 277 + 78) = 0,0126582…

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 0,06

Selon nos calculs, la probabilité qu'un élève ait obtenu une note de 80 % ou plus, étant donné qu'il a manqué un minimum de 10 cours, est d'au moins 6 %.

Probabilité conditionnelle d'événements indépendants

Nous avons également des événements, disons A et B où les deux sont des événements indépendants, ce qui signifie que l'occurrence de l'événement A n'a aucun rapport avec l'occurrence de l'événement B.

Dans un tel cas, la probabilité conditionnelle P(B|A) est essentiellement P(B).

P(B|A)= P(B)

De même, la probabilité conditionnelle P(A|B) est essentiellement P(A).

P(A|B)= P(A)

Probabilité conditionnelle d'événements mutuellement exclusifs

Selon la théorie des probabilités, lorsque nous parlons d'événements qui ne peuvent pas se produire en même temps, nous parlons d'éléments mutuellement exclusifs. Pour faire simple, si l'événement A s'est produit, l'événement B ne peut pas se produire simultanément. Par conséquent, dans de tels cas, la probabilité est toujours nulle.

P(B|A)= 0 et P(A|B)= 0

Loi de la probabilité totale

Nous utilisons la règle de multiplication pour déterminer la probabilité des cas complexes.

Conformément à la règle de multiplication, nous calculons la probabilité des événements, E et F, qui sont tous deux des événements d'observation, en multipliant la probabilité de l'événement d'observation F et de l'événement d'observation E, étant donné que l'événement F a déjà été observé.

P( E1 ⋂ E2 ⋂….. ⋂En)=P( E1) P(E2 | E1)………P(En | E1…………En-1)

Supposons maintenant que nous ayons un espace échantillon S comprenant trois événements disjoints X, Y, Z. Par conséquent ,

P(A)=P(A ⋂ X) +P(A ⋂ Y) +P(A ⋂ Z)

Maintenant, selon la règle de multiplication, la loi de probabilité totale peut être exprimée comme

P(A)= P(A|X) P(X) +P(A|Y) P(Y) +P(A|Z) P(Z)

Conclusion

Comprendre la probabilité conditionnelle est nécessaire pour maîtriser les estimations de probabilité complexes qui sont effectuées à l'aide du théorème de Bayes. Si vous souhaitez en savoir plus sur la probabilité conditionnelle et le théorème de Bayes, nous vous recommandons de rejoindre notre programme IIT-Advanced Certificate Program in Machine Learning .

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