Permutación vs Combinación: Diferencia entre Permutación y Combinación

La combinatoria, el campo de las matemáticas que se ocupa del conteo, los arreglos, las permutaciones y las combinaciones, suele ser una de las áreas más confusas. Sin embargo, forma la base de todo el dominio de la probabilidad y, finalmente, desempeña un papel crucial en el aprendizaje automático y la inteligencia artificial. Por estas razones, Permutaciones y combinaciones es un tema que debe dominarse antes de continuar.

Una de las principales confusiones que actúan como un obstáculo es la diferencia entre permutaciones y combinaciones. Por esa razón, analizaremos en profundidad las definiciones y características clave de permutaciones y combinaciones. Esto explicará cómo ambos términos difieren y cuál debe aplicarse en qué escenario.

¡Vamos a empezar!

¿Qué son las permutaciones y las combinaciones? Las diferencias entre ellas

Tratemos de entender estos términos cruciales usando algunos ejemplos. Suponga que quiere pedir una ensalada para el almuerzo. Su ensalada preferida puede ser una mezcla de tomates, zanahorias, rábanos y remolacha. Ahora, no le importa el orden en que se agregan estos vegetales individuales a su ensalada, siempre y cuando todos estén ahí. Todo lo que te importa es tener todas las verduras necesarias en tu ensaladera. La ensalada podría consistir en “tomates, zanahorias, rábanos y remolachas” o “tomates, zanahorias, remolachas y rábanos”. Idealmente, ambos escenarios serán los mismos para usted, como consumidor de ensaladas.

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Comenzando con la permutación

Ahora, cambiemos un poco el ejemplo y pensemos en el PIN de su tarjeta de débito. Si su PIN es 7986, es una colección de dígitos 7, 8, 9 y 6. Sin embargo, en este caso, no todos los arreglos de estos dígitos terminarán siendo su PIN. Es solo una secuencia específica, 7896, que es su PIN. En este caso, el orden es fundamental.

Las permutaciones son exactamente como los detalles de su PIN: el orden es extremadamente importante. Los detalles son importantes para las permutaciones. Para una permutación, 6/8/9 es completamente diferente de 9/6/8, que es diferente de 8/6/9 y así sucesivamente. Para las permutaciones, por lo tanto, el orden de las entidades debe ser preservado a toda costa.

Entonces, para definirlo en un sentido un poco más técnico, la permutación es un proceso de selección de diferentes elementos donde el orden de selección es importante. Se puede describir como el número de formas de organizar algunos o todos los elementos de un conjunto determinado.

Por ejemplo, considere un conjunto: {a, b, c}. En esto, todas las permutaciones de los elementos son las siguientes:

• a B C
• abc
• bac
• bca
• taxi
• cba

Casos especiales de permutaciones

Hay dos casos especiales de permutaciones que debes tener en cuenta:

1. Con repetición

Se puede decir que las permutaciones para 'k' de algo del total de 'n' tipos diferentes son n*n*n*…k veces.

La razón de esto es simple: cuando una cosa tiene n tipos diferentes... tienes 'n' número de opciones cada vez.

Por ejemplo: eligiendo 3 de esas cosas, las permutaciones son:

norte × norte × norte

(n multiplicado por 3)

Más generalmente: eligiendo 'n' de algo que tiene 'k' diferentes tipos, las permutaciones son:

n × n × ... (k veces)

2. Sin repetición

Sin Repetición, las elecciones no permanecerán 'n' cada vez. En cambio, los valores siguen disminuyendo con cada elección que haga. Aquí hay un ejemplo para entender esto mejor:

Trate de pensar en la cantidad de manos diferentes de 4 cartas hechas de una baraja de cartas.

Ahora, para la primera tarjeta, tiene la opción de seleccionar cualquiera de las 52 tarjetas. Entonces, tienes 52 opciones. Una vez que haya hecho su primera elección, no podrá volver a elegir la misma carta, por lo que las opciones para la siguiente ranura se convertirán en 51. Del mismo modo, cada próximo sorteo resultará en menos opciones que antes. Esta fórmula se puede generalizar como:

Para generalizar esto, la fórmula para las diferentes permutaciones de 'k' objetos diferentes de un grupo de 'n' objetos diferentes se puede dar como:

P(n,k) = nPk = n! / (n−k)!

Donde nPk es el número de permutaciones de 'k' objetos diferentes de un conjunto de 'n' objetos diferentes, y n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*…. .

Pasando de las permutaciones, ahora a las combinaciones

Una Combinación puede entenderse como una técnica para determinar el número de arreglos diferentes posibles en un conjunto de elementos diferentes, donde el orden de selección no es relevante. En combinación, puede seleccionar los artículos en cualquier orden; recuerde nuestro ejemplo anterior de su ensaladera.

Por lo tanto, la combinación es simplemente la forma de seleccionar diferentes artículos de una colección masiva para que el orden no sea importante. Para entender esto mejor, tomemos el siguiente ejemplo:

Supongamos que tenemos tres dígitos, 1, 2, 3, y queremos hacer un número de tres dígitos. Los números posibles son 123, 213, 132, 231, 312 y 321. Usando combinaciones, podemos encontrar la cantidad de formas en que 1, 2, 3 se pueden colocar en un orden particular más fácilmente. Una combinación es la selección de k cosas de una colección de n cosas sin ningún reemplazo y se puede escribir matemáticamente de la siguiente manera:

C(n,k) = nCk = n! / k! * (n−k)!

Entendamos mejor esta fórmula usando un ejemplo. Intenta averiguar de cuántas maneras un entrenador puede elegir tres nadadores de un grupo de 6 nadadores.

Usando la fórmula:

nCk = n! / k! * (n−k)!

En nuestra pregunta, el valor de n es 6 y el valor de k es 3. Manteniendo eso en la fórmula, obtenemos:

C(6,3) = 6! / 3!*2! = 60 => El entrenador puede elegir 3 nadadores de un conjunto de 6 nadadores de 60 maneras diferentes.

Algunos ejemplos comunes de permutaciones y combinaciones

Veamos algunos ejemplos del día a día para ayudarlo a comprender mejor las diferencias entre permutaciones y combinaciones. A través de estos ejemplos, podrá detectar fácilmente las diferencias entre estas dos técnicas.

1. Permutaciones

• Ordenar diferentes personas, números, alfabetos, dígitos, vegetales o colores.
• Selección de un capitán de equipo de un equipo de 11 jugadores.
• Elegir tres colores favoritos de varios colores diferentes.
• Selección de primeros, segundos y terceros ganadores.

2. Combinaciones

• Seleccionar el menú de comida, ropa de una lista, materias para cursos, etc.
• Elegir diferentes números de personas de un grupo de personas.
• Escoger dos colores de un libro de colores.
• Escoger cuatro ganadores solamente.

Relación entre permutación y combinación

Las permutaciones y combinaciones se refieren esencialmente a las diferentes formas en que se pueden seleccionar objetos de un conjunto, con o sin repetición, para formar nuevos sujetos. Entonces, ambos conceptos pueden entenderse como contar el número de subconjuntos para un conjunto dado. Esta selección de subconjuntos se llama permutación cuando el orden de selección es importante y combinación cuando el orden no es tan importante.

En un sentido más matemático, la permutación y la combinación están estrechamente relacionadas entre sí. La combinación es simplemente el conteo de diferentes selecciones que se pueden hacer a partir de n objetos. Por otro lado, la permutación cuenta el número de arreglos diferentes de n objetos.

Si observa detenidamente las siguientes dos fórmulas de Permutación y Combinación, podrá derivar una relación matemática entre las dos por su cuenta. Revisalo:

• nPr = n!/(nr)!
• nCr = n!/[r! (nr)!]

=> nPr = nCr / r!

=> nCr = r! * nPR

La ecuación mencionada anteriormente es la relación matemática entre permutación y combinación.

Diferencia entre permutación y combinación.

Aquí hay una tabla que hará que las diferencias básicas entre permutación y combinación sean más fáciles de entender.

Comprendamos la diferencia entre permutación y combinación con un ejemplo para darle una idea de cómo los usamos en la vida real.

• Formar un equipo para un juego: a menudo usamos combinaciones para determinar cuántos equipos posibles se pueden formar a partir de un gran grupo de jugadores para garantizar una distribución justa.
• Disposición de asientos para un evento: puede utilizar la fórmula de permutación para determinar el número de posibles disposiciones de asientos para eventos formales o planos oficiales de asientos.
• Combinación al formar comités: puede aplicar combinaciones para descubrir la posibilidad de formar un comité seleccionando algunas personas de un grupo más grande.
• Creación de una contraseña: también podemos usar permutaciones para calcular la cantidad de contraseñas posibles que se pueden formar usando un conjunto dado de números, símbolos y alfabetos.

Puntos para recordar

• La combinación es la cantidad de formas en que puede seleccionar un subconjunto de objetos de un conjunto más grande sin tener en cuenta el orden. Mientras que la permutación es la cantidad diferente de formas en que puede organizar un conjunto de objetos en un orden específico.
• Si los valores de n y k son iguales, entonces el número de permutaciones siempre excederá el número de combinaciones.
• Dado que el orden no importa al calcular las combinaciones, el resultado de elegir los mismos k objetos de un conjunto de n elementos siempre será el mismo.
• Dado que el orden es esencial en la permutación, incluso si elige los mismos k objetos de un conjunto de n objetos, el resultado diferirá según el orden de selección.

En conclusión

Con eso, llegamos al final de esta publicación de blog sobre las diferencias entre Permutación y Combinación. Tenga en cuenta que el campo de la combinatoria es excepcionalmente amplio y establece la base de muchos otros campos vitales de las matemáticas, especialmente cuando se trata de campos de aplicación como la probabilidad o el aprendizaje automático. Lo que hemos discutido en el artículo son solo las diferencias fundamentales entre Permutación y Combinación. Sin embargo, con este conocimiento a su lado, puede abordar fácilmente todas las confusiones que generalmente enfrentan los estudiantes al resolver problemas relacionados con PnC.

Si entendió todo en este artículo, le recomendamos que profundice más y se familiarice con otros matices de la combinatoria. Si no entendió muy bien el artículo, por favor pregunte sus dudas en los comentarios a continuación.

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