Probabilidad condicional explicada con aplicaciones de la vida real

¿Qué es la probabilidad condicional?

La probabilidad condicional, en la teoría de la probabilidad, se define como la medida de la probabilidad de que ocurra un evento, asumiendo que otro evento o resultado ha ocurrido previamente. Se expresa como la multiplicación de la probabilidad del evento ocurrido previamente con la probabilidad del evento condicional que ha ocurrido en sucesión.

Entonces, si tenemos eventos A y B donde P(B)>0, calculamos la probabilidad condicional de A cuando B ya ha ocurrido, P(A | B) como

P(A | B)=P(A∩B)P(B)

• | se usa para denotar "dado" en "casos donde ocurre otro evento"
• ∩ se usa para denotar intersección

Al calcular la probabilidad condicional, se supone que somos conscientes del resultado del evento B. Esto es especialmente útil ya que la información del resultado de un experimento a menudo se desconoce.

Entendamos esto con un ejemplo:

• Tenemos un evento A en el que asumimos que se aceptará a una persona que haya solicitado ingreso a una universidad. La probabilidad de que sean aceptados es del 70%.
• Tenemos otro evento B donde hay un 50% de posibilidades de que a los estudiantes aceptados se les asigne alojamiento en dormitorios.

Por lo tanto, calculamos la probabilidad condicional como,

Probabilidad (Estudiantes aceptados y Dormitorio asignado) = P (Dormitorio asignado | Estudiantes aceptados) × P (Estudiantes aceptados)

= (0,50)*(0,70) = 0,35

Con probabilidad condicional, estamos viendo los eventos A y B, su relación entre sí cuando un estudiante es aceptado en la universidad y se le asigna un dormitorio.

Por el contrario, la probabilidad incondicional se define como la medida de la probabilidad de que ocurra un evento independientemente de si está precedido por otro evento o tiene otras condiciones dadas.

Aplicaciones de la vida real de la probabilidad condicional

La probabilidad condicional encuentra un amplio uso en diferentes campos, como los seguros y el cálculo. También es aplicable en la política. Supongamos que hay una reelección esperada de un presidente. Los resultados dependerán de las preferencias de los elegibles para votar y de la probabilidad de resultado de las campañas publicitarias televisivas.

En otro ejemplo, supongamos que la probabilidad de lluvia en su área es del 40% según lo especificado por el clima. Sin embargo, este resultado depende en gran medida de:

• Si se están formando nubes en su área
• Si existe la posibilidad de que llegue un frente frío a su zona
• Si las nubes están siendo empujadas por otro frente

La probabilidad condicional dependerá de cada uno de los eventos anteriores.

Teorema de Bayes

Introducido por el matemático Thomas Bayes, el teorema de Bayes o la regla de Bayes o la ley de Bayes es una ecuación matemática que ayuda a calcular la probabilidad condicional. Usando el teorema de Bayes, podemos revisar (actualizar) las medidas de probabilidad existentes cuando sale a la luz nueva evidencia o información adicional.

El teorema de Bayes encuentra uso en finanzas donde los contadores lo usan para determinar el riesgo de prestar dinero a un prestatario. Además de esto, también es útil en estadística y lógica inductiva.

Las estadísticas bayesianas se basan en el teorema de Bayes, donde es posible predecir eventos sobre la base de nueva evidencia, lo que conduce a estimaciones más dinámicas y precisas.

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Ejemplo de probabilidad condicional con Python

En este ejemplo, usaremos la probabilidad condicional para determinar la probabilidad de que un estudiante obtenga una calificación A (80 % o más) en Física, siempre que se salte un mínimo de 10 clases.

Para empezar, inspeccione el conjunto de datos que descargó de Kaggle :

importar pandas como pd

df = pd.read_csv('estudiante-consumo-de-alcohol/estudiante-mat.csv')

df.cabeza(3)

Ir a través del número de registros:

len(df)

#=> 395

Únicamente se tendrán en cuenta las siguientes columnas: el número de ausencias y la nota final.

Ahora, cree una nueva columna booleana grade_A para mostrar si el puntaje final de un estudiante es del 80 % o más.

Multiplicar por 5:

df['grado_A'] = np.where(df['G3']*5 >= 80, 1, 0)

Cree una nueva columna booleana high_absenses que tenga el valor 1 para indicar que los estudiantes se perdieron un mínimo de 10 clases.

df['altas_ausencias'] = np.where(df['ausencias'] >= 10, 1, 0)

Cree otra columna para que podamos construir fácilmente una tabla dinámica:

df['cuenta'] = 1

Eliminar todas las demás columnas:

df = df[['nota_A','altas_absensaciones','recuento']]

df.cabeza()

Construyendo una tabla dinámica:

pd.pivot_table(

df,

valores='contar',

index=['calificación_A'],

columnas = ['high_absenses'],

aggfunc=np.tamaño,

valor_relleno=0

)

Ahora, podemos proceder a nuestro cálculo:

• P(A) denota la probabilidad de que un estudiante obtenga una calificación A (80% o más).
• P(B) es la probabilidad de que un estudiante haya perdido un mínimo de 10 clases.
• P(A|B) es la probabilidad de que un alumno haya obtenido una nota superior al 80 %, dado que ha perdido un mínimo de 10 clases.

P(A) = (35 + 5) / (35 + 5 + 277 + 78) = 0,10126…

P(B) = (78 + 5) / (35 + 5 + 277 + 78) = 0,21012…

P(A ∩ B) = 5 / (35 + 5 + 277 + 78) = 0,0126582…

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 0,06

Según nuestros cálculos, la probabilidad de que un alumno haya obtenido una nota superior al 80 %, dado que ha perdido un mínimo de 10 clases, es de al menos un 6 %.

Probabilidad Condicional de Eventos Independientes

También tenemos eventos, digamos A y B, donde ambos son eventos independientes, lo que significa que la ocurrencia del evento A no tiene relación con la ocurrencia del evento B.

En tal caso, la probabilidad condicional P(B|A) es esencialmente P(B).

P(B|A)= P(B)

De manera similar, la probabilidad condicional P(A|B) es esencialmente P(A).

P(A|B)= P(A)

Probabilidad condicional de eventos mutuamente excluyentes

Según la teoría de la probabilidad, cuando hablamos de eventos que no pueden ocurrir al mismo tiempo, estamos hablando de mutuamente excluyentes. En pocas palabras, si ha ocurrido el evento A, el evento B no puede ocurrir simultáneamente. Por lo tanto, en tales casos, la probabilidad es siempre cero.

P(B|A)= 0 y P(A|B)= 0

Ley de probabilidad total

Usamos la regla de la multiplicación para determinar la probabilidad de casos complejos.

De acuerdo con la regla de la multiplicación, calculamos la probabilidad de los eventos, E y F, los cuales son eventos de observación, multiplicando la probabilidad del evento de observación F y el evento de observación E, dado que el evento F ya ha sido observado.

P( E1 ⋂ E2 ⋂….. ⋂En)=P( E1) P(E2 | E1)…………P(En | E1…………En-1)

Ahora, supongamos que tenemos un espacio muestral S que comprende tres eventos disjuntos X, Y, Z. Por lo tanto ,

P(A)=P(A ⋂ X) +P(A ⋂ Y) +P(A ⋂ Z)

Ahora, según la regla de la multiplicación, la ley de probabilidad total se puede expresar como

P(A)= P(A|X) P(X) +P(A|Y) P(Y) +P(A| Z) P(Z)

Conclusión

Comprender la probabilidad condicional es necesario para dominar las estimaciones de probabilidad complejas que se realizan utilizando el teorema de Bayes. Si desea obtener información detallada sobre la probabilidad condicional y el teorema de Bayes, le recomendamos unirse a nuestro Programa de Certificado Avanzado en Aprendizaje Automático del IIT .

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