Fórmula de progresión aritmética: todo lo que necesita saber

Introducción

Una progresión aritmética es una sucesión en la que el siguiente término de la sucesión se obtiene sumando una constante a cada término. La constante añadida se llama diferencia común. Es una sucesión tal que la diferencia entre dos términos consecutivos cualesquiera en la sucesión es siempre una constante.

Supongamos, n 1 , n 2 , n 3 ……..n n son los

términos de una secuencia de progresión aritmética.

Entonces, n 2 = n 1 + d, n 3 = n 2 + d y así sucesivamente.

Donde n 1 = el primer término y d es la diferencia común

Ejemplos de progresión aritmética

Verifica si la siguiente secuencia 3, 6, 9, 12, 15 es una progresión aritmética o no.
Para que esta sucesión sea una sucesión de progresión aritmética, la diferencia común entre los términos consecutivos debe ser constante.

La diferencia común (d) = n 2 – n 1 debe ser igual a n 3 – n 2 y así sucesivamente.

En esta secuencia, d = 6 – 3 = 3, 9 – 6 = 3, 12 – 9 = 3 y 15 – 12 = 3.

La diferencia entre términos consecutivos es constante. Por lo tanto, la sucesión anterior es una progresión aritmética.

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Fórmula de progresión aritmética

Para comprender la fórmula de progresión aritmética , uno debe estar familiarizado con la terminología utilizada en la fórmula.

Primer periodo

Como su nombre lo indica, el primer término es el primer término de la sucesión, que generalmente se representa por n 1 . Por ejemplo, en la secuencia 5, 12, 19, 26, 33, el primer término es 5.

Diferencia común

Una diferencia común es el número fijo que se suma o resta entre dos términos consecutivos (excepto el primer término) en la progresión aritmética. Se denota por 'd'.

Por ejemplo, si n 1 es el primer término, entonces:

norte 2 = norte 1 + re

n 3 = n 2 + d y así sucesivamente

Fórmula de progresión aritmética para encontrar el término general o el término n

El término general o término n en una progresión aritmética se encuentra por:

norte norte = un + (n-1) * re

donde 'a' es el primer término y 'd' es una diferencia común.

Entonces, 1er término, N 1 = a + (1-1) *d

2do término , N 2 = a + (2-1) *d

3er término , N 3 = a + (3-1) *d

Al calcular 'n' términos en la fórmula anterior, obtenemos la forma general de una progresión aritmética.

a, a + d, a + 2d, a + 3d, …… a + (n-1) *d

Fórmula de progresión aritmética para encontrar la suma

La fórmula de progresión aritmética para la suma de 'n' términos donde 'a' es el primer término y 'd' es una diferencia común es la siguiente.

Cuando el término n es desconocido:

S norte = ( n /2) * [2a + (n − 1) * re]

Cuando se conoce el n-ésimo término:

Sn = (n/2) * [un 1 + un n ]

Derivación de fórmulas

Supongamos que 't' es el enésimo término de la serie y S n es la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética: a, (a + d), (a + 2d), …., a + (n – 1) * re.

Luego,

Sn = un 1 + un 2 + un 3 + ….un n -1 + un n

Sustituyendo los términos en la fórmula anterior, obtenemos

S norte = a + (a + d) + (a + 2d) + …….. + (t – 2d) + (t – d) + t …(1)

Después de escribir la ecuación (1) en orden inverso

S norte = t + (t – d) + (t – 2d) + …….. + (a + 2d) + (a + d) + a …(2)

Ahora, sumando la ecuación (1) y (2), obtenemos

2S n = (a + t) + (a + t) + (a + t) + …….. + (a + t) + (a + t) + (a + t)

2S n = n * (a + t)

S norte = ( n /2) * (a + t) …(3)

Reemplacemos el último término 't' por el enésimo término en la ecuación 3, obtenemos,

n -ésimo término = a + (n – 1) * d

S norte = ( n /2) * {a + a + (n – 1) * d}

S norte = ( n /2) * {2a + (n – 1) * d}

Ejemplo

Si te piden encontrar la suma de los primeros 30 términos de una sucesión 5, 11, 17, 23, ……

Solución:

a = 5, d = a 2 – a 1 = 11 – 5 = 6

S norte = ( n /2) * {2a + (n – 1) * d}

S n = (30/2) * (2 * 5 + (35 – 1) * 6}

Sn = (15) * (10 + 204)

S n = 15 * 214

S n = 3210

Conclusión

En matemáticas, una progresión aritmética es una serie de números donde la diferencia entre dos términos consecutivos es siempre constante. Podemos encontrar múltiples ejemplos de progresión aritmética en nuestra vida diaria. Por ejemplo, números de matrícula de estudiantes en un lote, meses en un año, etc.

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