Poisson-Verteilung & Poisson-Prozess erklärt [mit Beispielen]

Die Poisson-Verteilung ist ein Thema der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, das häufig von Unternehmen und auf dem Handelsmarkt verwendet wird. Es wird verwendet, um das Ausmaß der Abweichung von einer bestimmten durchschnittlichen Auftrittsrate innerhalb eines Zeitrahmens vorherzusagen. Dies wird in den folgenden Abschnitten ausführlich erläutert.

Poisson-Prozess

Der Poisson-Prozess ist ein weit verbreiteter stochastischer Prozess zur Modellierung der Reihe diskreter Ereignisse, die auftreten, wenn der Durchschnitt der Ereignisse bekannt ist, die Ereignisse jedoch zufällig auftreten. Da die Ereignisse zufällig stattfinden, können sie nacheinander auftreten oder zwischen zwei Ereignissen kann eine lange Zeit liegen.

Die durchschnittliche Zeit der Ereignisse ist nur konstant. Wenn also zum Beispiel bekannt ist, dass es in einer bestimmten Stadt im Durchschnitt viermal im Jahr zu einem Erdbeben kommt; Dies könnte bedeuten, dass vier Erdbeben an vier aufeinanderfolgenden Tagen in einem Jahr auftreten könnten, oder dass die Zeit zwischen zwei der Erdbeben sieben Monate betragen könnte.

Dies ist der Poisson-Prozess, und die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses kann berechnet werden.

Es ist wichtig, dass ein Poisson-Prozess die folgenden Kriterien erfüllt:

• Die Ereignisse sollten unabhängig voneinander sein. Das Eintreten eines Ereignisses sollte also die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines anderen Ereignisses nicht beeinflussen.

• Die durchschnittliche Rate der Ereignisse, dh Ereignisse pro Zeitraum, sind konstant.

• Zwei Ereignisse sollten nicht gleichzeitig auftreten.

Lesen Sie: Wahrscheinlichkeitsverteilung

Poisson-Verteilung

Die nach dem französischen Mathematiker Simeon Denis Poisson benannte Poisson-Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die verwendet wird, um die Wahrscheinlichkeit vorherzusagen, dass bestimmte Ereignisse stattfinden, wenn die durchschnittliche Rate des Ereignisses bekannt ist. Im obigen Beispiel kann die Poisson-Verteilung verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit eines Erdbebens zu einem bestimmten Zeitpunkt im Jahr vorherzusagen.

Es kann auch verwendet werden, um das Auftreten von Ereignissen in verschiedenen anderen festgelegten Intervallen wie Fläche, Volumen oder Entfernung vorherzusagen.

Die Poisson-Verteilungswahrscheinlichkeits-Massenfunktion liefert die Wahrscheinlichkeit, k Ereignisse in einem Zeitraum zu beobachten, wenn die gegebene Länge des Zeitraums und die durchschnittlichen Ereignisse pro Zeit gegeben sind. Die Formel lautet wie folgt:

P (k Ereignisse im Intervall) = e-λ * λk/k!

Hier ist λ, Lambda, der Geschwindigkeitsparameter, k ist die Häufigkeit, mit der ein Ereignis während des Zeitraums auftritt, e ist die Euler-Zahl und k! ist die Fakultät von k.

Anhand eines einfachen Beispiels können wir sehen, wie die Wahrscheinlichkeit berechnet werden kann. Wenn die durchschnittliche Anzahl von Erdbeben, die eine Stadt treffen, 2 pro Jahr beträgt, lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass 3 Erdbeben die Stadt im nächsten Jahr treffen werden.

Hier ist k gleich 3, λ gleich 2 und e die Eulersche Zahl, dh 2,71828. Setzen wir diese Werte in die oben angegebene Gleichung ein, erhalten wir P gleich 0,180. Die Wahrscheinlichkeit liegt also bei 18 %. Wir können daraus schließen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Stadt im nächsten Jahr von 3 Erdbeben heimgesucht wird, 18 % beträgt.

Eigenschaften der Poisson-Verteilung

• Der Mittelwert einer Poisson-verteilten Zufallsvariablen ist λ. Dies ist auch der Erwartungswert.
• Die Varianz einer Poisson-verteilten Zufallsvariablen ist ebenfalls gleich dem Mittelwert λ.
• Die Anzahl der Versuche in einer Poisson-Verteilung kann extrem groß sein. Somit kann es nahe unendlich sein.
• Die konstante Erfolgswahrscheinlichkeit in jedem Versuch ist minimal. Damit liegt er nahe bei null.
• Da die Poisson-Verteilung nur durch einen Parameter λ gekennzeichnet ist, wird sie auch als uniparametrische Verteilung bezeichnet.
• Ähnlich wie die Binomialverteilung kann die Poisson -Verteilung je nach Ratenparameter λ unimodal oder bimodal sein. Wenn es sich nicht um eine ganze Zahl handelt, ist die Verteilung unimodal, und wenn es sich um eine ganze Zahl handelt, ist sie bimodal.

Beispiele für die Poisson-Verteilung

Es gibt viele Sektoren, in denen die Poisson-Verteilung zur Vorhersage der Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses verwendet werden kann. Es wird in vielen wissenschaftlichen Bereichen eingesetzt und ist auch in der Wirtschaft beliebt. Einige der Beispiele sind unten aufgeführt.

1. Überprüfung der Menge eines Produkts, die während eines Jahres benötigt wird. Wenn ein Unternehmen/Supermarkt/Laden die durchschnittliche Menge der Produkte kennt, die in einem Jahr von seinen Kunden verwendet werden, können sie das Poisson-Verteilungsmodell verwenden, um vorherzusagen, in welchem ​​Monat sich das Produkt mehr verkauft. Dies kann ihnen helfen, die erforderliche Menge des Produkts zu lagern und ihre Verluste zu vermeiden.

2. Suche nach Personal für den Kundendienst. Wenn die Firma die durchschnittliche Anzahl von Anrufen an einem Tag berechnen kann, die mehr als fünfzehn Minuten zur Bearbeitung benötigen, kann sie das Modell verwenden, um die maximale Anzahl von Anrufen pro Stunde vorherzusagen, die mehr als fünfzehn Minuten dauern. Indem sie dies berechnen, können sie bewerten, ob sie mehr Personal benötigen.

3. Es kann verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Überschwemmungen, Stürmen und anderen Naturkatastrophen vorherzusagen. Dies kann möglich sein, wenn die durchschnittliche Anzahl solcher Katastrophen pro Jahr bekannt ist. Mit diesen Vorhersagen, zusammen mit anderen technologischen Anwendungen, ist es möglich, Menschen- und Sachschäden für viele Länder oder Regionen zu vermeiden.

4. Es kann auch im Finanzsektor verwendet werden, aber diese sind nicht unbedingt immer genau. Dies kann dabei helfen, eine Schätzung der Wahrscheinlichkeit abzugeben, wie die Aktienmärkte zu einem bestimmten Zeitpunkt steigen oder fallen werden.

5. Das Poisson-Verteilungsmodell kann auch in der Physik, Biologie, Astronomie usw. verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit vorherzusagen, dass Meteoriten in die Erdatmosphäre eindringen und in bestimmten Regionen der Welt sichtbar sind.

Fazit

Die Poisson-Verteilung ist ein beliebtes Thema in der Statistik und wurde in verschiedenen Abschnitten dieses Artikels ausführlich erläutert. Es ist ein wichtiges Thema für Studenten und Fachleute, die daran interessiert sind, etwas über Statistik und Wahrscheinlichkeit zu lernen.

Das Modell kann im wirklichen Leben und in verschiedenen Fächern wie Physik, Biologie, Astronomie, Wirtschaft, Finanzen usw. verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit abzuschätzen, dass ein Ereignis wie in den Beispielen erwähnt eintritt. Ähnliche Themen in Statistik, Data Science, maschinellem Lernen usw. finden Sie auf upGrad, die Ihnen helfen, Ihr Lernen zu erweitern und diese Konzepte auf verschiedene Probleme anzuwenden.

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