Permutation vs. Kombination: Unterschied zwischen Permutation und Kombination

Die Kombinatorik – das Fachgebiet der Mathematik, das sich mit Zählen, Anordnungen, Permutationen und Kombinationen beschäftigt – ist oft eines der verwirrendsten Gebiete. Es bildet jedoch die Grundlage des gesamten Bereichs der Wahrscheinlichkeit und spielt schließlich eine entscheidende Rolle beim maschinellen Lernen und der künstlichen Intelligenz. Aus diesen Gründen ist Permutationen und Kombinationen ein Thema, das gemeistert werden muss, bevor man fortfährt.

Eine der Hauptverwirrungen, die als Hindernis dienen, ist der Unterschied zwischen Permutationen und Kombinationen. Aus diesem Grund werfen wir einen detaillierten Blick auf die wichtigsten Definitionen und Merkmale von Permutationen und Kombinationen. Dadurch wird erklärt, wie sich diese beiden Begriffe unterscheiden und welcher in welchem ​​Szenario angewendet werden sollte.

Lass uns anfangen!

Was sind Permutationen und Kombinationen – die Unterschiede zwischen ihnen

Versuchen wir, diese entscheidenden Begriffe anhand einiger Beispiele zu verstehen. Angenommen, Sie möchten zum Mittagessen einen Salat bestellen. Ihr bevorzugter Salat könnte eine Mischung aus Tomaten, Karotten, Radieschen und Roter Bete sein. Nun ist es Ihnen egal, in welcher Reihenfolge diese einzelnen Gemüsesorten zu Ihrem Salat hinzugefügt werden, solange sie alle vorhanden sind. Sie müssen nur das nötige Gemüse in Ihrer Salatschüssel haben. Der Salat könnte aus „Tomaten, Karotten, Radieschen und Rote Bete“ oder „Tomaten, Karotten, Rote Bete und Radieschen“ bestehen. Im Idealfall sind für Sie – als Salatkonsumenten – beide Szenarien gleich.

Nehmen Sie online amKurs für maschinelles Lernen an den besten Universitäten der Welt teil – Masterstudiengänge, Executive-Postgraduiertenprogramme und Advanced-Certificate-Programme in ML und KI –, um Ihre Karriere zu beschleunigen.

Beginnend mit der Permutation

Lassen Sie uns das Beispiel nun etwas ändern und über Ihre Debitkarten-PIN nachdenken. Wenn Ihre PIN 7986 lautet, handelt es sich um eine Sammlung der Ziffern 7, 8, 9 und 6. In diesem Fall sind jedoch nicht alle Anordnungen dieser Ziffern letztendlich Ihre PIN. Es ist nur eine bestimmte Sequenz – 7896 – die Ihre PIN ist. In diesem Fall ist die Reihenfolge entscheidend.

Permutationen sind genau wie Ihre PIN-Daten – die Reihenfolge ist äußerst wichtig. Details sind für Permutationen wichtig. In einer Permutation ist 6/8/9 völlig anders als 9/6/8, was wiederum anders ist als 8/6/9 und so weiter. Bei Permutationen muss daher die Reihenfolge der Entitäten unbedingt erhalten bleiben.

Um es etwas technischer zu definieren: Permutation ist ein Prozess der Auswahl verschiedener Elemente, wobei die Reihenfolge der Auswahl wichtig ist. Es kann als die Anzahl der Möglichkeiten beschrieben werden, einige oder alle Elemente eines bestimmten Sets anzuordnen.

Betrachten Sie zum Beispiel eine Menge – {a, b, c}. Dabei sind alle Permutationen der Elemente wie folgt:

• ABC
• acb
• zurück
• bca
• Taxi
• cba

Sonderfälle von Permutationen

Es gibt zwei Sonderfälle von Permutationen, die Sie beachten sollten:

1. Mit Wiederholung

Permutationen für „k“ von etwas aus insgesamt „n“ verschiedenen Typen können als n*n*n*…k-mal bezeichnet werden.

Der Grund dafür ist einfach: Wenn ein Ding n verschiedene Typen hat, hat man jedes Mal „n“ viele Möglichkeiten.

Wenn Sie zum Beispiel drei dieser Dinge auswählen, sind die Permutationen:

n × n × n

(n dreimal multipliziert)

Allgemeiner gesagt: Wenn man „n“ von etwas wählt, das „k“ verschiedene Typen hat, sind die Permutationen:

n × n × … (k-mal)

2. Ohne Wiederholung

Ohne Wiederholung bleiben die Auswahlmöglichkeiten nicht jedes Mal „n“. Stattdessen verringern sich die Werte mit jeder von Ihnen getroffenen Auswahl weiter. Hier ist ein Beispiel, um dies besser zu verstehen:

Versuchen Sie sich vorzustellen, wie viele verschiedene 4-Karten-Hände aus einem Kartenspiel entstehen?

Nun haben Sie für die erste Karte die Möglichkeit, eine beliebige von 52 Karten auszuwählen. Sie haben also 52 Möglichkeiten. Sobald Sie Ihre erste Wahl getroffen haben, können Sie dieselbe Karte nicht noch einmal ziehen, sodass die Auswahlmöglichkeiten für den nächsten Slot 51 betragen. Ebenso führt jede nächste Ziehung dazu, dass Sie weniger Auswahlmöglichkeiten haben als zuvor. Diese Formel kann wie folgt verallgemeinert werden:

Um dies zu verallgemeinern, kann die Formel für die verschiedenen Permutationen von „k“ verschiedenen Objekten aus einer Gruppe von „n“ verschiedenen Objekten wie folgt angegeben werden:

P(n,k) = nPk = n! / (n−k)!

Dabei ist nPk die Anzahl der Permutationen von „k“ verschiedenen Objekten aus einer Menge von „n“ verschiedenen Objekten und n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*…. .

Kommen wir von den Permutationen zu den Kombinationen

Eine Kombination kann als eine Technik zur Bestimmung der Anzahl verschiedener möglicher Anordnungen in einer Menge verschiedener Elemente verstanden werden – wobei die Reihenfolge der Auswahl keine Rolle spielt. In Kombination können Sie die Artikel in beliebiger Reihenfolge auswählen – erinnern Sie sich an unser früheres Beispiel Ihrer Salatschüssel.

Daher ist die Kombination einfach die Möglichkeit, verschiedene Artikel aus einer Massensammlung auszuwählen, sodass die Reihenfolge keine Rolle spielt. Um dies besser zu verstehen, nehmen Sie das folgende Beispiel:

Angenommen, wir haben drei Ziffern – 1, 2, 3 – und möchten eine dreistellige Zahl bilden. Die möglichen Zahlen sind 123, 213, 132, 231, 312 und 321. Mithilfe von Kombinationen können wir die Anzahl der Möglichkeiten ermitteln, wie 1, 2, 3 einfacher in eine bestimmte Reihenfolge gebracht werden können. Eine Kombination ist die ersatzlose Auswahl von k Dingen aus einer Sammlung von n Dingen und kann mathematisch wie folgt geschrieben werden:

C(n,k) = nCk = n! / k! * (n−k)!

Lassen Sie uns diese Formel anhand eines Beispiels besser verstehen. Versuchen Sie herauszufinden, auf wie viele Arten ein Trainer drei Schwimmer aus einer Gruppe von sechs Schwimmern auswählen kann.

Mit der Formel:

nCk = n! / k! * (n−k)!

In unserer Frage ist der Wert von n 6 und der Wert von k 3. Wenn wir das in der Formel beibehalten, erhalten wir:

C(6,3) = 6! / 3!*2! = 60 => Der Trainer kann auf 60 verschiedene Arten 3 Schwimmer aus einem Satz von 6 Schwimmern auswählen.

Einige häufige Beispiele für Permutationen und Kombinationen

Schauen wir uns einige Beispiele aus dem Alltag an, damit Sie die Unterschiede zwischen Permutationen und Kombinationen besser verstehen. Anhand dieser Beispiele können Sie die Unterschiede zwischen diesen beiden Techniken leicht erkennen.

1. Permutationen

• Anordnen verschiedener Personen, Zahlen, Alphabete, Ziffern, Gemüse oder Farben.
• Auswahl eines Mannschaftskapitäns aus einer Mannschaft von 11 Spielern.
• Wählen Sie aus mehreren verschiedenen Farben drei Lieblingsfarben aus.
• Auswahl des ersten, zweiten und dritten Gewinners.

2. Kombinationen

• Auswahl der Speisekarte, Kleidung aus einer Liste, Themen für Kurse usw.
• Auswahl unterschiedlicher Personenzahlen aus einer Personengruppe.
• Zwei Farben aus einem Farbbuch auswählen.
• Es werden nur vier Gewinner ausgewählt.

Beziehung zwischen Permutation und Kombination

Permutationen und Kombinationen beziehen sich im Wesentlichen auf die unterschiedliche Art und Weise, wie Objekte aus einer Menge ausgewählt werden können – sowohl mit als auch ohne Wiederholung –, um neue Subjekte zu bilden. Beide Konzepte können also so verstanden werden, dass sie die Anzahl der Teilmengen für eine bestimmte Menge zählen. Diese Auswahl von Teilmengen wird als Permutation bezeichnet, wenn die Reihenfolge der Auswahl wichtig ist, und als Kombination, wenn die Reihenfolge nicht so wichtig ist.

Im mathematischeren Sinne sind Permutation und Kombination eng miteinander verbunden. Unter Kombination versteht man einfach das Zählen verschiedener Auswahlmöglichkeiten, die aus n Objekten getroffen werden können. Andererseits zählt Permutation die Anzahl unterschiedlicher Anordnungen von n Objekten.

Wenn Sie sich die folgenden beiden Formeln für Permutation und Kombination genau ansehen, können Sie selbst eine mathematische Beziehung zwischen beiden ableiten. Prüfen Sie:

• nPr = n!/(nr)!
• nCr = n!/[r! (nr)!]

=> nPr = nCr / r!

=> nCr = r! * NPR

Die oben erwähnte Gleichung ist die mathematische Beziehung zwischen Permutation und Kombination.

Unterschied zwischen Permutation und Kombination

Hier ist eine Tabelle, die das Verständnis der grundlegenden Unterschiede zwischen Permutation und Kombination erleichtert.

Lassen Sie uns den Unterschied zwischen Permutation und Kombination anhand eines Beispiels verstehen , um Ihnen eine Vorstellung davon zu geben, wie wir sie im wirklichen Leben verwenden.

• Zusammenstellung einer Mannschaft für ein Spiel: Wir nutzen oft Kombinationen, um zu ermitteln, wie viele mögliche Mannschaften aus einer großen Gruppe von Spielern gebildet werden könnten, um eine gerechte Verteilung zu gewährleisten.
• Sitzordnung für eine Veranstaltung: Mit der Permutationsformel können Sie die Anzahl der möglichen Sitzordnungen für formelle Veranstaltungen oder offizielle Sitzpläne ermitteln.
• Kombination bei der Bildung von Ausschüssen: Durch Kombinationen können Sie die Möglichkeit der Bildung eines Ausschusses durch die Auswahl einiger weniger Personen aus einer größeren Gruppe herausfinden.
• Erstellen eines Passworts: Wir können auch Permutationen verwenden, um die Anzahl möglicher Passwörter zu berechnen, die aus einem gegebenen Satz von Zahlen, Symbolen und Alphabeten gebildet werden können.

Punkte, die man sich merken sollte

• Die Kombination ist die Anzahl der Möglichkeiten, wie Sie eine Teilmenge von Objekten aus einer größeren Menge auswählen können, ohne die Reihenfolge zu berücksichtigen. Unter Permutation versteht man die unterschiedliche Anzahl von Möglichkeiten, eine Reihe von Objekten in einer bestimmten Reihenfolge anzuordnen.
• Wenn die Werte n und k gleich sind, übersteigt die Anzahl der Permutationen immer die Anzahl der Kombinationen.
• Da die Reihenfolge bei der Berechnung von Kombinationen keine Rolle spielt, ist das Ergebnis der Auswahl derselben k Objekte aus einer Menge von n Elementen immer dasselbe.
• Da die Reihenfolge bei der Permutation entscheidend ist, unterscheidet sich das Ergebnis je nach Auswahlreihenfolge, selbst wenn Sie dieselben k Objekte aus einer Menge von n Objekten auswählen.

Abschließend

Damit sind wir am Ende dieses Blogbeitrags über die Unterschiede zwischen Permutation und Kombination angelangt. Bedenken Sie, dass das Gebiet der Kombinatorik außergewöhnlich umfangreich ist und die Grundlage für viele andere wichtige Bereiche der Mathematik bildet – insbesondere wenn es um Anwendungsbereiche wie Wahrscheinlichkeitstheorie oder maschinelles Lernen geht. Was wir in dem Artikel besprochen haben, sind lediglich die grundlegenden Unterschiede zwischen Permutation und Kombination. Mit diesem Wissen an Ihrer Seite können Sie jedoch alle Verwirrungen, mit denen Studenten normalerweise konfrontiert sind, wenn sie Probleme rund um PnC lösen, problemlos bewältigen.

Wenn Sie in diesem Artikel alles verstanden haben, empfehlen wir Ihnen, tiefer einzutauchen und sich mit anderen Nuancen der Kombinatorik vertraut zu machen. Wenn Sie den Artikel nicht richtig verstanden haben, äußern Sie Ihre Zweifel bitte in den Kommentaren unten.

Bei upGrad bilden wir Studienanfänger und erfahrene Fachkräfte aus und haben Tausenden von Studenten auf der ganzen Welt erfolgreich geholfen, sich ihren Ängsten zu stellen und ihre Karriere zu verändern. Unsere Kurse in maschinellem Lernen und künstlicher Intelligenz sind speziell für Studienanfänger konzipiert. So werden den Schülern alle wesentlichen Mathematik-, Statistik- und Rechenkenntnisse auf möglichst praktische Weise vermittelt. Ein solcher Kurs ist das Executive PG-Programm für maschinelles Lernen und KI angeboten in Zusammenarbeit mit IIIT-B. Schauen Sie sich die Kursdetails an und melden Sie sich noch heute an!