Bedingte Wahrscheinlichkeit erklärt mit realen Anwendungen

Was ist bedingte Wahrscheinlichkeit?

Die bedingte Wahrscheinlichkeit wird in der Wahrscheinlichkeitstheorie als das Maß für die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses definiert, unter der Annahme, dass zuvor ein anderes Ereignis oder Ergebnis eingetreten ist. Sie wird ausgedrückt als Multiplikation der Wahrscheinlichkeit des zuvor eingetretenen Ereignisses mit der Wahrscheinlichkeit des darauf folgenden bedingten Ereignisses.

Wenn wir also die Ereignisse A und B mit P(B)>0 haben, berechnen wir die bedingte Wahrscheinlichkeit von A, wenn B bereits eingetreten ist, P(A | B) als

P(A | B)=P(A∩B)P(B)

• | wird verwendet, um „gegeben“ in „Fällen, in denen ein anderes Ereignis eintritt“ zu bezeichnen
• ∩ wird verwendet, um Schnittpunkte zu bezeichnen

Beim Berechnen der bedingten Wahrscheinlichkeit wird angenommen, dass wir uns des Ergebnisses von Ereignis B bewusst sind. Dies ist besonders nützlich, da die Informationen über das Ergebnis eines Experiments oft unbekannt sind.

Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels verstehen:

• Wir haben ein Ereignis A, bei dem wir davon ausgehen, dass eine Person, die sich an einer Universität beworben hat, angenommen wird. Die Wahrscheinlichkeit, dass sie angenommen werden, liegt bei 70 %.
• Wir haben ein weiteres Ereignis B, bei dem eine Wahrscheinlichkeit von 50 % besteht, dass akzeptierte Studenten ein Wohnheim zugewiesen bekommen.

Daher berechnen wir die bedingte Wahrscheinlichkeit wie folgt:

Wahrscheinlichkeit (Studenten angenommen und Wohnheim zugewiesen) = P (Wohnheim zugewiesen | Studenten akzeptiert) × P (Studenten akzeptiert)

= (0,50)*(0,70) = 0,35

Mit bedingter Wahrscheinlichkeit betrachten wir beide Ereignisse A und B, ihre Beziehung zueinander, wenn ein Student sowohl an der Universität angenommen als auch einem Wohnheim zugewiesen wird.

Im Gegensatz dazu ist die unbedingte Wahrscheinlichkeit definiert als Maß für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, unabhängig davon, ob ihm ein anderes Ereignis vorausgeht oder andere Bedingungen gegeben sind.

Reale Anwendungen der bedingten Wahrscheinlichkeit

Die bedingte Wahrscheinlichkeit findet in verschiedenen Bereichen wie Versicherungen und Kalkül umfangreiche Anwendung. Es ist auch in der Politik anwendbar. Nehmen wir an, es gibt eine erwartete Wiederwahl eines Präsidenten. Die Ergebnisse werden von den Präferenzen der Wahlberechtigten und der Wahrscheinlichkeit des Ausgangs von Fernsehwerbekampagnen abhängen.

Nehmen wir in einem anderen Beispiel an, dass die Regenwahrscheinlichkeit in Ihrer Gegend 40 % beträgt, wie es das Wetter vorgibt. Dieses Ergebnis ist jedoch weitgehend abhängig von:

• Ob sich in Ihrer Nähe Wolken bilden
• Ob die Möglichkeit besteht, dass eine Kaltfront in Ihrer Nähe eintrifft
• Ob die Wolken von einer anderen Front verdrängt werden

Die bedingte Wahrscheinlichkeit hängt von jedem der oben genannten Ereignisse ab.

Satz von Bayes

Der vom Mathematiker Thomas Bayes eingeführte Satz von Bayes oder die Regel von Bayes oder das Gesetz von Bayes ist eine mathematische Gleichung, die bei der Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit hilft. Unter Verwendung des Satzes von Bayes können wir bestehende Wahrscheinlichkeitsmaße revidieren (aktualisieren), wenn neue Beweise oder zusätzliche Informationen ans Licht kommen.

Das Theorem von Bayes findet Anwendung im Finanzwesen, wo Buchhalter es verwenden, um das Risiko zu bestimmen, einem Kreditnehmer Geld zu leihen. Darüber hinaus ist es auch in der Statistik und induktiven Logik nützlich.

Die Bayessche Statistik basiert auf dem Satz von Bayes, bei dem es möglich ist, Ereignisse auf der Grundlage neuer Beweise vorherzusagen, was zu dynamischeren und genaueren Schätzungen führt.

Nehmen Sie online am Machine Learning-Kurs der weltbesten Universitäten teil – Master, Executive Post Graduate Programs und Advanced Certificate Program in ML & AI, um Ihre Karriere zu beschleunigen.

Beispiel für bedingte Wahrscheinlichkeit mit Python

In diesem Beispiel verwenden wir die bedingte Wahrscheinlichkeit, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass ein Schüler in Physik eine Eins (80 %) erhält, vorausgesetzt, er überspringt mindestens 10 Unterrichtsstunden.

Untersuchen Sie zunächst den Datensatz, den Sie von kaggle herunterladen :

pandas als pd importieren

df = pd.read_csv('student-alcohol-consumption/student-mat.csv')

df.head(3)

Gehen Sie die Anzahl der Datensätze durch:

Länge (df)

# => 395

Dabei werden nur folgende Spalten berücksichtigt: die Anzahl der Absenzen und die Abschlussnoten.

Erstellen Sie jetzt eine neue boolesche Spalte grade_A, um anzuzeigen, ob die Endnote eines Schülers 80 % oder mehr beträgt.

Mit 5 multiplizieren:

df['grade_A'] = np.where(df['G3']*5 >= 80, 1, 0)

Erstellen Sie eine neue boolesche Spalte high_absenses mit dem Wert 1, die Schüler angibt, die mindestens 10 Unterrichtsstunden verpasst haben.

df['high_absenses'] = np.where(df['absences'] >= 10, 1, 0)

Erstellen Sie eine weitere Spalte, damit wir einfach eine Pivot-Tabelle erstellen können:

df['count'] = 1

Entfernen Sie alle anderen Spalten:

df = df[['note_A','high_absenses','count']]

df.head()

Erstellen einer Pivot-Tabelle:

pd.pivot_table(

df,

Werte='Anzahl',

index=['note_A'],

column=['high_absenses'],

aggfunc=np.size,

Füllwert=0

)

Jetzt können wir mit unserer Berechnung fortfahren:

• P(A) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler eine A-Note erzielt (80 % oder mehr).
• P(B) ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler mindestens 10 Unterrichtsstunden verpasst hat.
• P(A|B) ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler eine Note von mindestens 80 % erzielt hat, vorausgesetzt, er/sie hat mindestens 10 Unterrichtsstunden verpasst.

P(A) = (35 + 5) / (35 + 5 + 277 + 78) = 0,10126…

P(B) = (78 + 5) / (35 + 5 + 277 + 78) = 0,21012…

P(A ∩ B) = 5 / (35 + 5 + 277 + 78) = 0,0126582…

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 0,06

Gemäß unseren Berechnungen beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler eine Note von 80 %+ erreicht hat, vorausgesetzt, er/sie hat mindestens 10 Unterrichtsstunden verpasst, mindestens 6 %.

Bedingte Wahrscheinlichkeit unabhängiger Ereignisse

Wir haben auch Ereignisse, sagen wir A und B, wobei beide unabhängige Ereignisse sind, was bedeutet, dass das Eintreten von Ereignis A keine Beziehung zum Eintreten von Ereignis B hat.

In einem solchen Fall ist die bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A) im Wesentlichen P(B).

P(B|A)= P(B)

Ähnlich ist die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) im Wesentlichen P(A).

P(A|B)= P(A)

Bedingte Wahrscheinlichkeit sich gegenseitig ausschließender Ereignisse

Wenn wir von Ereignissen sprechen, die nicht gleichzeitig eintreten können, sprechen wir gemäß der Wahrscheinlichkeitstheorie von sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen. Einfach ausgedrückt: Wenn Ereignis A eingetreten ist, kann Ereignis B nicht gleichzeitig eintreten. Daher ist in solchen Fällen die Wahrscheinlichkeit immer Null.

P(B|A)= 0 und P(A|B)= 0

Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit

Wir verwenden die Multiplikationsregel, um die Wahrscheinlichkeit komplexer Fälle zu bestimmen.

Gemäß der Multiplikationsregel berechnen wir die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen E und F, die beide Beobachtungsereignisse sind, indem wir die Wahrscheinlichkeit des Beobachtungsereignisses F und des Beobachtungsereignisses E multiplizieren, vorausgesetzt, dass Ereignis F bereits beobachtet wurde.

P( E1 ⋂ E2 ⋂….. ⋂En)=P( E1) P(E2 | E1)………P(En | E1…………En-1)

Nehmen wir nun an, wir haben einen Abtastraum S, der drei disjunkte Ereignisse X, Y, Z enthält. Daher

P(A)=P(A⋂X) +P(A⋂Y) +P(A⋂Z)

Nun kann gemäß der Multiplikationsregel das Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit ausgedrückt werden als

P(A)= P(A|X) P(X) +P(A|Y) P(Y) +P(A|Z) P(Z)

Fazit

Das Verständnis der bedingten Wahrscheinlichkeit ist notwendig, um komplexe Wahrscheinlichkeitsschätzungen zu meistern, die mit dem Theorem von Bayes durchgeführt werden. Wenn Sie mehr über die bedingte Wahrscheinlichkeit und das Theorem von Bayes erfahren möchten, empfehlen wir Ihnen, an unserem IIT-Advanced Certificate Program in Machine Learning teilzunehmen .

Die Plattform von upGrad mit über 40.000 bietet Möglichkeiten für Peer-to-Peer-Zusammenarbeit und 360°-Jobunterstützung bei Top-Unternehmen. Mit strengem Training durch praktische Projekte, Fallstudien und Live-Vorträge können die Schüler die komplizierten Konzepte der Wahrscheinlichkeit beherrschen und sie nutzen, um Modelle für maschinelles Lernen einzusetzen.

Führen Sie die KI-gesteuerte technologische Revolution an. Jetzt bewerben!