Arithmetische Progressionsformel: Alles, was Sie wissen müssen

Einführung

Eine arithmetische Progression ist eine Sequenz, bei der der nächste Term in der Sequenz durch Hinzufügen einer Konstante zu jedem Term erhalten wird. Die hinzugefügte Konstante wird gemeinsame Differenz genannt. Es ist eine Folge, bei der die Differenz zwischen zwei beliebigen aufeinanderfolgenden Gliedern in der Folge immer eine Konstante ist.

Angenommen, n 1 , n 2 , n 3 ……..n n sind die

Terme einer arithmetischen Progressionsfolge.

Dann ist n 2 = n 1 + d, n 3 = n 2 + d und so weiter.

Wobei n 1 = der erste Term und d die gemeinsame Differenz ist

Beispiele für arithmetische Progression

Überprüfen Sie, ob die folgende Folge 3, 6, 9, 12, 15 eine arithmetische Folge ist oder nicht.
Damit diese Folge eine arithmetische Progressionsfolge ist, sollte die gemeinsame Differenz zwischen den aufeinanderfolgenden Termen konstant sein.

Gemeinsame Differenz (d) = n 2 – n 1 muss gleich n 3 – n 2 sein und so weiter.

In dieser Reihenfolge ist d = 6 – 3 = 3, 9 – 6 = 3, 12 – 9 = 3 und 15 – 12 = 3.

Die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Termen ist konstant. Daher ist die obige Folge eine arithmetische Folge.

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Arithmetische Progressionsformel

Um die arithmetische Progressionsformel zu verstehen , sollte man mit den in der Formel verwendeten Terminologien vertraut sein.

Erstsemester

Wie der Name schon sagt, ist der erste Term der erste Term der Sequenz, die normalerweise durch n 1 dargestellt wird . Beispielsweise ist in der Folge 5, 12, 19, 26, 33 der erste Term 5.

Gemeinsamer Unterschied

Ein häufiger Unterschied ist die feste Zahl, die zwischen zwei aufeinanderfolgenden Termen (außer dem ersten Term) in der arithmetischen Folge addiert oder subtrahiert wird. Es wird mit 'd' bezeichnet.

Wenn zum Beispiel n 1 der erste Term ist, dann:

n2 = n1 + d

n 3 = n 2 + d und so weiter

Arithmetische Progressionsformel zum Finden des allgemeinen Begriffs oder des n -ten Begriffs

Der allgemeine Term oder n -te Term in einer arithmetischen Folge wird gefunden durch:

Nn = a + (n-1) * d

wobei 'a' der erste Term und 'd' ein gemeinsamer Unterschied ist.

Also, 1. Term , N 1 = a + (1-1) *d

2. Term , N 2 = a + (2-1) *d

3. Term , N 3 = a + (3-1) *d

Durch die Berechnung von 'n' Termen in der obigen Formel erhalten wir die allgemeine Form einer arithmetischen Folge.

a, a + d, a + 2d, a + 3d, …… a + (n-1) *d

Arithmetische Progressionsformel, um die Summe zu finden

Die arithmetische Progressionsformel für die Summe von 'n' Termen, wobei 'a' der erste Term und 'd' ein gemeinsamer Unterschied ist, lautet wie folgt.

Wenn der n-te Term unbekannt ist:

Sn = ( n /2) * [2a + (n − 1) * d]

Wenn der n-te Term bekannt ist:

Sn = (n/2) * [a 1 + a n ]

Formelableitung

Nehmen wir an, dass 't' der n-te Term der Reihe ist und S n die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge ist: a, (a + d), (a + 2d), …., a + (n – 1) * d.

Dann,

Sn = a 1 + a 2 + a 3 + ….a n -1 + a n

Wenn wir die Terme in der obigen Formel einsetzen, erhalten wir

S n = a + (a + d) + (a + 2d) + …….. + (t – 2d) + (t – d) + t …(1)

Nach dem Schreiben der Gleichung (1) in umgekehrter Reihenfolge

S n = t + (t – d) + (t – 2d) + …….. + (a + 2d) + (a + d) + a …(2)

Fügen Sie nun Gleichung (1) und (2) hinzu, wir erhalten

2S n = (a + t) + (a + t) + (a + t) + …….. + (a + t) + (a + t) + (a + t)

2S n = n * (a + t)

Sn = ( n /2) * (a + t) …(3)

Ersetzen wir den letzten Term 't' durch den n-ten Term in Gleichung 3, erhalten wir

n -ter Term = a + (n – 1) * d

Sn = ( n /2) * {a + a + (n – 1) * d}

Sn = ( n /2) * {2a + (n – 1) * d}

Beispiel

Wenn Sie aufgefordert werden, die Summe der ersten 30 Glieder einer Folge zu finden 5, 11, 17, 23, ……

Lösung:

a = 5, d = a 2 – a 1 = 11 – 5 = 6

Sn = ( n /2) * {2a + (n – 1) * d}

Sn = ( 30/2 ) * (2 * 5 + (35 – 1) * 6}

Sn = (15) * (10 + 204)

Sn = 15 * 214

Sn = 3210

Fazit

In der Mathematik ist eine arithmetische Progression eine Reihe von Zahlen, bei denen die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern immer konstant ist. In unserem täglichen Leben finden wir zahlreiche Beispiele für arithmetische Progression. Zum Beispiel Einschreibungszahlen von Studenten in einem Batch, Monate in einem Jahr usw.

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