التقليب مقابل الجمع: الفرق بين التقليب والجمع

التوافقية - مجال الرياضيات الذي يتعامل مع العد والترتيبات والتباديل والتوليفات - غالبًا ما يكون أحد أكثر المجالات إرباكًا. ومع ذلك ، فإنه يشكل الأساس لمجال الاحتمالات بأكمله ويلعب في النهاية دورًا مهمًا في التعلم الآلي والذكاء الاصطناعي. وبسبب هذه الأسباب ، فإن التباديل والتوليفات موضوع يجب إتقانه قبل المضي قدمًا.

أحد الارتباكات الأساسية التي تعمل كحاجز هو الفرق بين التباديل والتوليفات. لهذا السبب ، سنلقي نظرة متعمقة على التعريفات والميزات الرئيسية للتباديل والتوليفات. سيوضح هذا كيف يختلف كلا المصطلحين وأيهما يجب تطبيقه في أي سيناريو.

هيا نبدأ!

ما هي التباديل والتوليفات - الاختلافات بينها

دعنا نحاول فهم هذه المصطلحات الهامة باستخدام بعض الأمثلة. افترض أنك تريد طلب سلطة على الغداء. قد تكون سلطتك المفضلة عبارة عن مزيج من الطماطم والجزر والفجل والشمندر. الآن ، لا تهتم بالترتيب الذي تضاف به هذه الخضار الفردية إلى سلطتك طالما كانت جميعها موجودة. كل ما يهمك هو الحصول على جميع الخضروات المطلوبة في طبق السلطة. يمكن أن تتكون السلطة من "الطماطم والجزر والفجل والشمندر" أو "الطماطم والجزر والشمندر والفجل". سيكون كلا السيناريوهين مثالياً بالنسبة لك - كمستهلك سلطة.

انضم إلىدورة التعلم الآلي عبر الإنترنت من أفضل الجامعات في العالم - الماجستير ، وبرامج الدراسات العليا التنفيذية ، وبرنامج الشهادات المتقدمة في ML & AI لتسريع حياتك المهنية.

بدءا من التقليب

الآن ، دعنا نغير المثال قليلاً ونفكر في رقم التعريف الشخصي لبطاقة الخصم. إذا كان رقم التعريف الشخصي الخاص بك هو 7986 ، فهو عبارة عن مجموعة من الأرقام 7 و 8 و 9 و 6. ومع ذلك ، في هذه الحالة ، لن تصبح جميع ترتيبات هذه الأرقام هي رقم التعريف الشخصي الخاص بك. إنه مجرد تسلسل واحد محدد - 7896 - هذا هو رقم التعريف الشخصي الخاص بك. في هذه الحالة ، الترتيب ضروري.

التباديل هي بالضبط مثل تفاصيل PIN الخاصة بك - الترتيب مهم للغاية. التفاصيل مهمة للتبديل. بالنسبة للتبديل ، يختلف 6/8/9 تمامًا عن 9/6/8 ، والذي يختلف عن 8/6/9 وما إلى ذلك. لذلك ، من أجل التباديل ، يجب الحفاظ على ترتيب الكيانات بأي ثمن.

لذلك ، لتعريفه بمعنى أكثر تقنيًا - التقليب هو عملية اختيار عناصر مختلفة حيث يكون ترتيب الاختيار مهمًا. يمكن وصفه بأنه عدد طرق ترتيب بعض أو كل عناصر مجموعة معينة.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك مجموعة - {أ ، ب ، ج}. في هذا ، تكون جميع تباديل العناصر كما يلي:

• abc
• acb
• البكالوريا
• بكا
• سيارة أجرة
• cba

حالات خاصة من التباديل

هناك حالتان خاصتان للتباديل يجب أن تضعهما في اعتبارك:

1. مع التكرار

يمكن القول أن التباديل لـ 'k' لشيء ما من أنواع مختلفة 'n' هي n * n * n * ... k مرة.

السبب في ذلك بسيط - عندما يكون لشيء ما أنواع مختلفة ... يكون لديك عدد "عدد" من الخيارات في كل مرة.

على سبيل المثال: اختيار 3 من هذه الأشياء ، التباديل هي:

ن × ن × ن

(n مضروبة 3 مرات)

بشكل أكثر عمومية: اختيار "n" لشيء له أنواع مختلفة "k" ، التبديلات هي:

ن × ن × ... (مرات ك)

2. بدون تكرار

بدون التكرار ، لن تظل الخيارات "n" في كل مرة. بدلاً من ذلك ، تستمر القيم في التناقص مع كل خيار تقوم به. إليك مثال لفهم هذا بشكل أفضل:

حاول التفكير في عدد توزيعات الورق الأربعة المختلفة المصنوعة من مجموعة أوراق اللعب؟

الآن ، بالنسبة للبطاقة الأولى ، لديك خيار تحديد بطاقة واحدة من بين 52 بطاقة. لذا ، لديك 52 خيارًا. بمجرد قيامك باختيارك الأول ، لا يمكنك اختيار نفس البطاقة مرة أخرى ، وبالتالي تصبح اختيارات الخانة التالية 51. وبالمثل ، سينتج عن كل سحب تالي اختيارات أقل من ذي قبل. يمكن تعميم هذه الصيغة على النحو التالي:

لتعميم هذا ، يمكن إعطاء صيغة التباديل المختلفة لكائنات مختلفة "ك" من مجموعة من "ن" كائنات مختلفة على النحو التالي:

الفوسفور (ن ، ك) = ن ب ك = ن! / (ن − ك)!

حيث nPk هو عدد التباديل بين كائنات مختلفة 'k' من مجموعة من 'n' كائنات مختلفة ، و n! = n * (n-1) * (n-2) * (n-3) *…. .

الانتقال من التباديل - الآن إلى التوليفات

يمكن فهم المجموعة على أنها تقنية لتحديد عدد الترتيبات المختلفة الممكنة في مجموعة من العناصر المختلفة - حيث لا يكون ترتيب الاختيار مناسبًا. معًا ، يمكنك تحديد العناصر بأي ترتيب - تذكر مثالنا السابق لوعاء السلطة الخاص بك.

لذلك ، فإن الدمج هو ببساطة طريقة اختيار عناصر مختلفة من مجموعة مجمعة بحيث لا يكون الطلب مهمًا. لفهم هذا بشكل أفضل ، خذ المثال التالي:

لنفترض أن لدينا ثلاثة أرقام - 1 ، 2 ، 3 - ونريد تكوين عدد مكون من ثلاثة أرقام. الأرقام المحتملة هي 123 ، 213 ، 132 ، 231 ، 312 ، و 321. باستخدام التوليفات ، يمكننا إيجاد عدد الطرق التي يمكن من خلالها وضع 1 ، 2 ، 3 في ترتيب معين بسهولة أكبر. الجمع هو اختيار k من الأشياء من مجموعة n من الأشياء دون أي استبدال ويمكن كتابتها رياضيًا بالطريقة التالية:

C (n، k) = nCk = n! / ك! * (ن − ك)!

دعونا نفهم هذه الصيغة بشكل أفضل باستخدام مثال. حاول معرفة عدد الطرق التي يمكن للمدرب من خلالها اختيار ثلاثة سباحين من مجموعة مكونة من 6 سباحين.

باستخدام الصيغة:

nCk = ن! / ك! * (ن − ك)!

في سؤالنا ، قيمة n تساوي 6 ، وقيمة k هي 3. مع الاحتفاظ بذلك في الصيغة ، نحصل على:

ج (6،3) = 6! / 3! * 2! = 60 => يمكن للمدرب اختيار 3 سباحين من مجموعة مكونة من 6 سباحين في 60 طريقة مختلفة.

بعض الأمثلة الشائعة للتباديل والتوليفات

دعنا نلقي نظرة على بعض الأمثلة اليومية لمساعدتك على فهم الاختلافات بين التباديل والتوليفات بطريقة أفضل. من خلال هذه الأمثلة ، ستتمكن من تحديد الاختلافات بين هاتين الطريقتين بسهولة.

1. التباديل

• ترتيب أشخاص أو أرقام أو أبجديات أو أرقام أو خضروات أو ألوان مختلفة.
• اختيار كابتن فريق من 11 لاعبا.
• اختيار ثلاثة ألوان مفضلة من عدة ألوان مختلفة.
• اختيار الفائزين الأول والثاني والثالث.

2. مجموعات

• اختيار قائمة الطعام ، والملابس من القائمة ، وموضوعات الدورات ، وما إلى ذلك.
• انتقاء أعداد مختلفة من الأشخاص من بين مجموعة من الأشخاص.
• اختيار لونين من كتاب ملون.
• اختيار أربعة فائزين فقط.

العلاقة بين التقليب والجمع

تشير التباديل والتوليفات أساسًا إلى الطرق المختلفة التي يمكن من خلالها تحديد كائنات من مجموعة - سواء مع التكرار أو بدونه - لتشكيل موضوعات جديدة. لذلك ، يمكن فهم كلا المفهومين على أنهما حساب عدد المجموعات الفرعية لمجموعة معينة. يسمى هذا الاختيار للمجموعات الفرعية التقليب عندما يكون ترتيب الاختيار مهمًا ومجموعة عندما لا يكون الطلب بهذه الأهمية.

بمعنى رياضي ، ترتبط التقليب والجمع ارتباطًا وثيقًا ببعضهما البعض. الدمج هو ببساطة حساب التحديدات المختلفة التي يمكن إجراؤها من كائنات n. من ناحية أخرى ، فإن التقليب هو حساب عدد الترتيبات المختلفة من كائنات n.

إذا نظرت عن كثب إلى الصيغتين التاليتين من التقليب والجمع ، فستتمكن من اشتقاق علاقة رياضية بين الاثنين بنفسك. افحصها:

• nPr = n! / (nr)!
• nCr = n! / [r! (غير)!]

=> nPr = nCr / r!

=> nCr = r! * الإذاعة الوطنية العامة

المعادلة المذكورة أعلاه هي العلاقة الرياضية بين التقليب والجمع.

الفرق بين التقليب والجمع

فيما يلي جدول يجعل الاختلافات الأساسية بين التقليب والجمع أسهل في الفهم.

دعنا نفهم الفرق بين التقليب والجمع مع المثال لإعطائك فكرة عن كيفية استخدامها في الحياة الواقعية.

• تشكيل فريق للعبة: غالبًا ما نستخدم مجموعات لتحديد عدد الفرق المحتملة التي يمكن تشكيلها من مجموعة كبيرة من اللاعبين لضمان التوزيع العادل.
• ترتيبات الجلوس لحدث ما: يمكنك استخدام صيغة التقليب لتحديد عدد ترتيبات الجلوس الممكنة للأحداث الرسمية أو خطط الجلوس الرسمية.
• الجمع أثناء تشكيل اللجان: يمكنك تطبيق مجموعات لمعرفة إمكانية تشكيل لجنة عن طريق اختيار عدد قليل من الأفراد من مجموعة أكبر.
• إنشاء كلمة مرور: يمكننا أيضًا استخدام التباديل لحساب عدد كلمات المرور الممكنة التي يمكن تكوينها باستخدام مجموعة معينة من الأرقام والرموز والحروف الأبجدية.

نقطة لنتذكر

• المجموعة هي عدد الطرق التي يمكنك من خلالها تحديد مجموعة فرعية من الكائنات من مجموعة أكبر دون مراعاة الترتيب. بينما يمثل التقليب عددًا مختلفًا من الطرق التي يمكنك من خلالها ترتيب مجموعة من الكائنات بترتيب معين.
• إذا كانت قيم n و k هي نفسها ، فسيتجاوز عدد التباديل دائمًا عدد التوليفات.
• نظرًا لأن الترتيب لا يهم أثناء حساب التوليفات ، فإن نتيجة اختيار نفس كائنات من مجموعة من العناصر n ستكون دائمًا هي نفسها.
• نظرًا لأن الترتيب ضروري في التقليب ، حتى إذا اخترت نفس كائنات k من مجموعة من الكائنات n ، فإن النتيجة ستختلف اعتمادًا على ترتيب التحديد.

ختاماً

مع ذلك ، وصلنا إلى نهاية منشور المدونة هذا حول الاختلافات بين التقليب والجمع. ضع في اعتبارك أن مجال التوافقية واسع بشكل استثنائي ويضع الأساس للعديد من المجالات الحيوية الأخرى للرياضيات - خاصة عندما يتعلق الأمر بالمجالات التطبيقية مثل الاحتمالية أو التعلم الآلي. ما ناقشناه في المقالة هو مجرد الاختلافات الأساسية بين التقليب والجمع. ومع ذلك ، مع هذه المعرفة من جانبك ، يمكنك بسهولة معالجة جميع الارتباكات التي يواجهها الطلاب عمومًا أثناء حل المشكلات المتعلقة بـ PnC.

إذا فهمت كل شيء في هذه المقالة ، فإننا نوصيك بالغوص بشكل أعمق والتعرف على الفروق الدقيقة الأخرى في التوليفات. إذا لم تفهم المقال جيدًا - يرجى طرح شكوكك في التعليقات أدناه.

في upGrad ، قمنا بتدريب المبتدئين والمهنيين ذوي الخبرة وساعدنا بنجاح آلاف الطلاب في جميع أنحاء العالم على مواجهة مخاوفهم وتحويل حياتهم المهنية. تم تصميم دوراتنا في التعلم الآلي والذكاء الاصطناعي مع الأخذ في الاعتبار المستجدين. لذلك ، يتم تدريس جميع الرياضيات الأساسية والإحصاء والحساب للطلاب بأكثر الطرق العملية. أحد هذه الدورات هو برنامج Executive PG في التعلم الآلي والذكاء الاصطناعي عرضت بالتعاون مع IIIT-B. تحقق من تفاصيل الدورة وسجّل نفسك اليوم!