شرح الاحتمال الشرطي مع تطبيقات الحياة الواقعية

ما هو الاحتمال الشرطي؟

يُعرَّف الاحتمال الشرطي ، في نظرية الاحتمالات ، بأنه مقياس احتمالية وقوع حدث ما ، على افتراض أن حدثًا أو نتيجة أخرى قد حدثت سابقًا. يتم التعبير عنها على أنها مضاعفة احتمالية الحدث الذي حدث سابقًا مع احتمال الحدث الشرطي الذي حدث على التوالي.

لذلك ، إذا كان لدينا حدثان A و B حيث P (B)> 0 ، فإننا نحسب الاحتمال الشرطي لـ A عندما يكون B قد حدث بالفعل ، P (A | B) على النحو التالي

الفوسفور (أ | ب) = الفوسفور (أ∩ب) الفوسفور (ب)

• | يستخدم للدلالة على "معطى" في "الحالات التي يقع فيها حدث آخر"
• ∩ تستخدم للدلالة على التقاطع

أثناء حساب الاحتمال الشرطي ، يُفترض أننا على دراية بنتيجة الحدث ب. وهذا مفيد بشكل خاص لأن معلومات نتيجة التجربة غالبًا ما تكون غير معروفة.

دعونا نفهم هذا بمثال:

• لدينا حدث A حيث نفترض أنه سيتم قبول الفرد الذي تقدم بطلب إلى الجامعة. احتمال قبولهم 70٪.
• لدينا حدث آخر B حيث توجد فرصة بنسبة 50٪ أن يتم تخصيص سكن للطالب المقبولين.

ومن ثم ، نحسب الاحتمال الشرطي

الاحتمالية (تم قبول الطلاب وتعيين السكن) = P (المهجع المعين | قبول الطلاب) × P (تم قبول الطلاب)

= (0.50) * (0.70) = 0.35

مع الاحتمال الشرطي ، نحن نبحث في كلا الحدثين A و B ، علاقتهما مع بعضهما البعض حيث يتم قبول الطالب في الجامعة وتخصيص سكن لهما.

في المقابل ، يتم تعريف الاحتمال غير المشروط على أنه مقياس لاحتمال وقوع حدث ما بغض النظر عما إذا كان قد سبقه حدث آخر أو تم تقديم شروط أخرى.

تطبيقات الحياة الواقعية للاحتمال الشرطي

يجد الاحتمال الشرطي استخدامًا مكثفًا في مجالات مختلفة مثل التأمين وحساب التفاضل والتكامل. كما أنها قابلة للتطبيق في السياسة. لنفترض أن هناك إعادة انتخاب متوقعة لرئيس. ستعتمد النتائج على تفضيلات أولئك المؤهلين للتصويت واحتمالية نتيجة الحملات الإعلانية التلفزيونية.

في مثال آخر ، لنفترض أن احتمال هطول الأمطار في منطقتك هو 40٪ كما هو محدد بواسطة الطقس. ومع ذلك ، فإن هذه النتيجة تعتمد إلى حد كبير على:

• ما إذا كانت هناك غيوم تتشكل في منطقتك
• ما إذا كان هناك احتمال لظهور جبهة باردة في منطقتك
• ما إذا كان يتم دفع الغيوم بعيدًا عن طريق جبهة أخرى

سيعتمد الاحتمال الشرطي على كل من الأحداث المذكورة أعلاه.

مبرهنة بايز

قدمها عالم الرياضيات توماس بايز ، نظرية بايز أو قاعدة بايز أو قانون بايز هي معادلة رياضية تساعد في حساب الاحتمال الشرطي. باستخدام نظرية بايز ، يمكننا مراجعة (تحديث) مقاييس الاحتمالية الحالية عندما تظهر أدلة جديدة أو معلومات إضافية.

تجد نظرية بايز استخدامها في التمويل حيث يستخدمه المحاسبون لتحديد مخاطر إقراض المال للمقترض. بالإضافة إلى ذلك ، فهي مفيدة أيضًا في الإحصاء والمنطق الاستقرائي.

تستند إحصائيات بايز إلى نظرية بايز حيث من الممكن التنبؤ بالأحداث على أساس أدلة جديدة ، مما يؤدي إلى تقديرات أكثر ديناميكية ودقة.

انضم إلى دورة التعلم الآلي عبر الإنترنت من أفضل الجامعات في العالم - الماجستير ، وبرامج الدراسات العليا التنفيذية ، وبرنامج الشهادات المتقدمة في ML & AI لتسريع حياتك المهنية.

مثال الاحتمالية الشرطية مع بايثون

في هذا المثال ، سنستخدم الاحتمال الشرطي لتحديد احتمالية حصول الطالب على درجة A (80٪ +) في الفيزياء ، بشرط أن يتخطى 10 فصول على الأقل.

للبدء ، افحص مجموعة البيانات التي تقوم بتنزيلها من kaggle :

استيراد الباندا كما pd

df = pd.read_csv ("استهلاك الكحول للطالب / طالب-mat.csv")

دي اف.هيد (3)

راجع عدد السجلات:

لين (مدافع)

# => 395

سنأخذ فقط الأعمدة التالية في الحسبان: عدد الغيابات والدرجات النهائية.

الآن ، قم بإنشاء عمود منطقي جديد grade_A لإظهار ما إذا كانت النتيجة النهائية للطالب 80٪ أو أعلى.

اضرب ب 5:

df ['grade_A'] = np.where (df ['G3'] * 5> = 80، 1، 0)

أنشئ عمودًا منطقيًا جديدًا high_absenses به القيمة 1 للإشارة إلى الطلاب الذين فاتهم 10 فصول على الأقل.

df ['high_absenses'] = np.where (df ['absences']> = 10، 1، 0)

أنشئ عمودًا آخر حتى نتمكن من إنشاء جدول محوري بسهولة:

df ['count'] = 1

قم بإزالة كافة الأعمدة الأخرى:

df = df [['grade_A'، 'high_absenses'، 'count']]

df.head ()

بناء جدول محوري:

pd.pivot_table (

مدافع

القيم = 'العد' ،

الفهرس = ['grade_A'] ،

أعمدة = ['high_absenses'] ،

aggfunc = np.size ،

fill_value = 0

)

الآن ، يمكننا المتابعة إلى حساباتنا:

• تشير P (A) إلى احتمال حصول الطالب على درجة A (80٪ أو أكثر).
• P (B) هو احتمال أن يفوت الطالب ما لا يقل عن 10 فصول دراسية.
• P (A | B) هو احتمال أن يكون الطالب قد حصل على درجة 80٪ + ، بالنظر إلى أنه فاته 10 فصول على الأقل.

ف (أ) = (35 + 5) / (35 + 5 + 277 + 78) = 0.10126 ...

الفوسفور (ب) = (78 + 5) / (35 + 5 + 277 + 78) = 0.21012 ...

الفوسفور (أ ∩ ب) = 5 / (35 + 5 + 277 + 78) = 0.0126582 ...

الفوسفور (أ | ب) = الفوسفور (أ ∩ ب) / الفوسفور (ب) = 0.06

وفقًا لحساباتنا ، فإن احتمال حصول الطالب على درجة 80٪ + ، بالنظر إلى أنه فاته 10 فصول على الأقل هو 6٪ على الأقل.

الاحتمال الشرطي للأحداث المستقلة

لدينا أيضًا أحداث ، على سبيل المثال A و B حيث كلاهما حدثان مستقلان ، مما يعني أن حدوث الحدث A ليس له علاقة بحدوث الحدث B.

في مثل هذه الحالة ، يكون الاحتمال الشرطي P (B | A) أساسًا P (B).

الفوسفور (ب | أ) = ف (ب)

وبالمثل ، فإن الاحتمال الشرطي P (A | B) هو في الأساس P (A).

الفوسفور (أ | ب) = ف (أ)

الاحتمال الشرطي للأحداث الخاصة بشكل متبادل

وفقًا لنظرية الاحتمالات ، عندما نتحدث عن أحداث لا يمكن أن تحدث في نفس الوقت ، فإننا نتحدث عن حصري متبادل. لتوضيح الأمر ببساطة ، إذا وقع الحدث A ، فلا يمكن أن يقع الحدث B في وقت واحد. لذلك ، في مثل هذه الحالات ، يكون الاحتمال صفرًا دائمًا.

الفوسفور (ب | أ) = 0 ، ف (أ | ب) = 0

قانون الاحتمالية الكلية

نستخدم قاعدة الضرب لتحديد احتمالية الحالات المعقدة.

وفقًا لقاعدة الضرب ، نحسب احتمالية الأحداث ، E و F ، وكلاهما يراقب الأحداث ، بضرب احتمال حدث المراقبة F ومراقبة الحدث E ، بالنظر إلى أن الحدث F قد لوحظ بالفعل.

الفوسفور (E1 ⋂ E2 ⋂… .. ⋂En) = P (E1) P (E2 | E1) ……… P (En | E1 ………… En-1)

الآن ، لنفترض أن لدينا عينة فضاء S تشتمل على ثلاثة أحداث منفصلة X ، Y ، Z. لذلك ،

الفوسفور (A) = الفوسفور (A ⋂ X) + الفوسفور (A ⋂ Y) + الفوسفور (A ⋂ Z)

الآن ، وفقًا لقاعدة الضرب ، يمكن التعبير عن قانون الاحتمال الكلي كـ

الفوسفور (A) = الفوسفور (A | X) الفوسفور (X) + الفوسفور (A | Y) الفوسفور (Y) + الفوسفور (A | Z) الفوسفور (Z)

خاتمة

فهم الاحتمال الشرطي ضروري لإتقان تقديرات الاحتمالات المعقدة التي يتم تنفيذها باستخدام نظرية بايز. إذا كنت ترغب في التعرف بشكل متعمق على الاحتمال الشرطي ونظرية بايز ، فإننا نوصي بالانضمام إلى برنامج شهادة IIT المتقدم في التعلم الآلي .

توفر منصة upGrad التي يزيد عددها عن 40.000 فرصًا للتعاون بين الأقران والمساعدة في الوظائف بزاوية 360 درجة في أفضل الشركات. من خلال التدريب الصارم من خلال المشاريع العملية ودراسات الحالة والمحاضرات الحية ، يمكن للطلاب إتقان المفاهيم المعقدة للاحتمالات والاستفادة منها لنشر نماذج التعلم الآلي.

قيادة الثورة التكنولوجية التي يقودها الذكاء الاصطناعي. قدم الآن!